Cours Stage - Principe additif et mutiplicatif

Exercice - Digicode

L'énoncé

Pour entrer dans un immeuble, la porte est sécurisée par un digicode. Le clavier est de la forme suivante :

Le code est de la forme suivante : 4 chiffres suivis d'une lettre.


Question 1

Combien de codes peut on former avec un tel clavier ?

Pour les 4 premiers chiffres, on a le choix entre 6 chiffres, et pour la dernière lettre on a le choix entre 3 lettres.

Il y a donc: $6\times 6\times 6\times 6\times 3=3888$ codes possibles.

Combien y a-t-il de choix pour chaque caractère ?

Question 2

Le bouton 6 est endommagé, le gardien est obligé de reconfigurer le code sans le chiffre 6. Combien y a-t-il de codes sans le chiffre 6 ?

C'est fois-ci, pour chaque chiffre on a le choix parmi 5 :

Il y a $5\times 5\times 5\times 5\times 3=1875$ codes possibles.

De la même manière que la question 1, combien de choix reste-t-il ?

Question 3

Le clavier est de nouveau opérationnel. Combien y a-t-il de codes contenant au moins une fois le chiffre 6 ?

On connaît le nombre de codes ne contenant pas de 6. Ainsi tous les autres codes contiennent au moins une fois le chiffre 6.

On a trouvé le nombre total de code à la question 1.

Ainsi, le nombre de codes contenant au moins 1 fois le chiffre 6 est :

$3888-1875=2013$

Aidez vous des deux premières questions.

Question 4

Combien y-a-t-il de codes ne comportant que des chiffres distincts ?

Cette fois-ci, on a 6 choix pour le premier chiffre, 5 pour le second car on ne peut pas prendre celui déjà pris en premier, 4 pour le troisième car 2 chiffres on déjà été pris et 3 choix pour le dernier. Et encore 3 choix pour la lettre.

On a donc :

$6\times 5\times 4\times 3\times 3\times =1080$

Il y a donc 1080 codes qui ne contiennent pas 2 fois le même chiffre.

Il s'agit ici d'un arrangement de 4 éléments parmi 6.

Question 5

Supposons maintenant que le code contiennent seulement 4 caractères, chiffres et lettres confondus. Combien de code possibles y a-t-il ?

A chaque caractère il y a 9 choix : 6 chiffres ou 3 lettres.

Il y a donc $9^4=6561$ choix possibles.