L'énoncé
Pour entrer dans un immeuble, la porte est sécurisée par un digicode. Le clavier est de la forme suivante :
Le code est de la forme suivante : 4 chiffres suivis d'une lettre.
Question 1
Combien de codes peut on former avec un tel clavier ?
Pour les 4 premiers chiffres, on a le choix entre 6 chiffres, et pour la dernière lettre on a le choix entre 3 lettres.
Il y a donc: $6\times 6\times 6\times 6\times 3=3888$ codes possibles.
Combien y a-t-il de choix pour chaque caractère ?
Question 2
Le bouton 6 est endommagé, le gardien est obligé de reconfigurer le code sans le chiffre 6. Combien y a-t-il de codes sans le chiffre 6 ?
C'est fois-ci, pour chaque chiffre on a le choix parmi 5 :
Il y a $5\times 5\times 5\times 5\times 3=1875$ codes possibles.
De la même manière que la question 1, combien de choix reste-t-il ?
Question 3
Le clavier est de nouveau opérationnel. Combien y a-t-il de codes contenant au moins une fois le chiffre 6 ?
On connaît le nombre de codes ne contenant pas de 6. Ainsi tous les autres codes contiennent au moins une fois le chiffre 6.
On a trouvé le nombre total de code à la question 1.
Ainsi, le nombre de codes contenant au moins 1 fois le chiffre 6 est :
$3888-1875=2013$
Aidez vous des deux premières questions.
Question 4
Combien y-a-t-il de codes ne comportant que des chiffres distincts ?
Cette fois-ci, on a 6 choix pour le premier chiffre, 5 pour le second car on ne peut pas prendre celui déjà pris en premier, 4 pour le troisième car 2 chiffres on déjà été pris et 3 choix pour le dernier. Et encore 3 choix pour la lettre.
On a donc :
$6\times 5\times 4\times 3\times 3\times =1080$
Il y a donc 1080 codes qui ne contiennent pas 2 fois le même chiffre.
Il s'agit ici d'un arrangement de 4 éléments parmi 6.
Question 5
Supposons maintenant que le code contiennent seulement 4 caractères, chiffres et lettres confondus. Combien de code possibles y a-t-il ?
A chaque caractère il y a 9 choix : 6 chiffres ou 3 lettres.
Il y a donc $9^4=6561$ choix possibles.