Cours Stage - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
QCM
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L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


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Question 1

De quelle autre manière peut-on noter l'espérance $\mu$ d'une variable aléatoire ? 

$\mathbb{M}(X)$

$\mathbb{E}(X)$

On peut aussi noter l'espérance de $X$ : $\mathbb{E}(X)$.

$\nu$

Question 2

Quelle est la relation entre la variance et l'écart type ? 

$\sigma^2 = V$

Il s'agit d'une définition.

$\sigma = V^2$

$\sqrt{\sigma} = V$

Question 3

Soit $\epsilon > 0$, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, on a :

$P(|X - \mu|\geq \epsilon) \geq \dfrac{V}{\epsilon}$

$P(X - \mu\geq \epsilon) \leq \dfrac{V}{\epsilon^2}$

$P(|X - \mu|\geq \epsilon) \leq \dfrac{V}{\epsilon^2}$

C'est la bonne écriture !

Question 4

Qui a été le premier a découvrir l'inégalité ? 

Bienaymé

C'est lui qui l'a découverte en premier !

Tchebychev

Bienaymé-Tchebytchev

Il s'agit du nom de deux personnes !

Question 5

Comment Tchebychev a popularisé l'inégalité ? 

Grâce à de nombreuses présentations auprès des empereurs.

Grâce à la loi des grands nombres.

Tchebychev a exploité l'inégalité avec l'utilisation de la loi des grands nombres.

Grâce à la loi des nombres irrationnels.

Question 6

Quelle hypothèse fondamentale est faite sur la variable aléatoire $X$ ? 

$X$ doit suivre une loi binomiale.

$X$ doit suivre une loi normale.

$X$ est une variable aléatoire quelconque.

Il s'agit d'une propriété universelle.

Question 7

Soit $X$ une variable aléatoire. Quelle inégalité est vraie ? 

$P(X \geq 75) \geq P(|X - 50| \geq 25)$

$P(X \geq 75) \leq P(|X - 50| \geq 25)$

En effet, $P(|X - 50| \geq 25) = P(X - 50 \geq 25) + P(X - 50 \leq -25) \geq P(X \geq 75) $

$P(X \geq 75) < P(X - 50 \geq 25)$

Question 8

Quelle condition doit vérifier $\epsilon$ ? 

$\epsilon > \sigma$

En effet, si $\epsilon \leq \sigma$ alors $\dfrac{1}{\epsilon^2}\geq \dfrac{1}{\sigma^2} \iff \dfrac{V}{\epsilon^2} \geq 1$.

Finalement, on obtient que la probabilité $P(|X-\mu| \geq \epsilon) \leq \dfrac{V}{\epsilon^2} $. Or $\dfrac{V}{\epsilon^2} \geq 1$. On a donc écrit que la probabilité est plus petite que $1$ mais on le savait déjà. 

$\epsilon > 2\sigma$

$\epsilon > \pi$

Question 9

Quelle est la constante $c$ prédit par l'inégalité de Bienaymé-Tchebuchev ? 

$P\big(X \in\big ]\mu - 3\epsilon, \mu + 3\epsilon \big [ \big) \geq c$

$c = \dfrac{3}{4}$

$c = \dfrac{1}{9}$

$c = \dfrac{8}{9}$

En effet, 

$P\big(X \in\big ]\mu - 3\epsilon, \mu + 3\epsilon \big [ \big) =P\big( |X -\mu | < 3\sigma \big) = 1 - P\big( |X -\mu | > 3\sigma \big)$
Or $P\big( |X -\mu | > 3\sigma \big) \leq \dfrac{V}{9\sigma^2} = \dfrac{V}{9V} = \dfrac{1}{9}$
Ainsi $P\big( |X -\mu | < 3\sigma \big) \geq 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$

Question 10

Si $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$, que vaut $P\big( |X -\mu | > 3\sigma \big) $ ? 

$\dfrac{8}{9}$

$0,95$

$0,997$

Il s'agit d'une propriété de la loi normale à retenir !