Cours Image d’une suite convergente par une fonction continue
QCM
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L'énoncé

Cocher la ou les bonne(s) réponse(s).


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Question 1

On définit la suite suivante :

$ u_0 = 1 $ 

$ \forall \; n \in \mathbb{N^*}, \; u_{n} = 1 + (-1)^n $

Et la fonction suivante : $ \forall \; x \in \mathbb{R}, \; f(x) = 3x+7 $

Que peut-on dire de la limite de $ f(u_n) $ ?

$ f(u_n) $ converge vers $ 10 $ quand $ n \rightarrow \infty $

$ f(u_n) $ converge vers $ 4 $ quand $ n \rightarrow \infty $

Aucune des deux propositions du dessus.

Le théorème utilisé mentionne une suite convergente.

Ici, $ (u_n) $ ne converge pas, mais diverge car elle vaut successivement $0$ ou $2$ selon la parité de $n$.

On ne peut donc pas obtenir de résultat pour $ f(u_n) $.

Question 2

On définit une nouvelle suite :

$ v_0 = 1 $

$ \forall \; n \in \mathbb{N^*}, \; v_{n+1} = \frac{3}{5}v_n  $

Et on garde la même fonction : $ \forall \; x \in \mathbb{R}, \; f(x) = 3x+7 $

Que peut-on dire de $ f(v_n) $ ?

$ f(v_n) $ converge vers $+ \infty $ quand $ n \rightarrow \infty $

$ f(v_n) $ converge vers $7$ quand $ n \rightarrow \infty $

La suite $v_n$ est géométrique de raison $-1<\frac{3}{5}<1$ donc elle converge vers $0$.

Ainsi, $f(v_n)$ converge vers $f(0)=7$ puisque $f$ est continue en zéro.

On ne peut rien dire sur le comportement de $ f(v_n) $

Calculer les premier termes de la suite.

Question 3

Dans quel(s) cas une suite géométrique va-t-elle converger ?

Si le premier terme de la suite est nul.

Si le premier terme est nul, alors la suite reste de valeur constante nulle : elle est convergente.

Si le premier terme de la suite est égal à 1.

Si le premier terme est égal à 1, rien n'empêche les termes suivants de croître vers l'infini (par exemple avec une raison égale à 2).

Si la raison est nulle.

Si la raison est nulle, alors la suite est constante de valeur nulle à partir du 2e terme : elle est convergente.

Si la raison est égale à 1.

Si la raison est égale à 1, la suite est constante de valeur du premier terme : elle est convergente.

Si la raison est comprise dans $ ]-1;1[ $.

Si la raison $ q $ est $ < 1 $, alors $ q^n \rightarrow +\infty $ quand $ n \rightarrow +\infty $ et donc la suite converge vers 0.

Question 4

On définit la suite suivante : $ \forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_{n} = \frac{1}{n+1} + 1 $

Et la fonction suivante : $ \forall \; x \in \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}, \; f(x) = \frac{1}{x-1} $

On remarque que $ (u_n) $ converge vers $ l = 1 $.

Que peut-on dire de $ f(u_n) $ ?

$ f(u_n) \rightarrow f(l) $

On ne peut pas conclure sur la limite de $f(u_n)$.

L'hypothèse de continuité de $f$ en $l=1$ n'est pas vérifiée, on ne peut pas utiliser le résultat.

Faire attention aux hypothèses du théorème de la vidéo.

Question 5

Soit $ (u_n) $ une suite définie par récurrence telle que $ u_0 = 1 $ et $ \forall \; n \in \mathbb{N*}, \; u_{n+1} = f(u_n) $,

Avec $ f $ une fonction définie telle que $ \forall \; x \in \mathbb{R*}, \; f(x) = 1 + \frac{1}{x} $.

On admet que $u_n$ converge vers un réel $l$ non nul.

Trouver si elle existe la limite de $f(u_n)$ (une valeur approchée suffira).

0

1

0,426

1.618

$ \forall \; x \in \mathbb{R*}, \; f(x) = 1 + \frac{1}{x} $ est continue sur son ensemble de définition et comme $u_n$ converge alors :

$f(u_n)$ converge vers un réel $l$ vérifiant $f(l)=l$

Ou encore $1+\frac{1}{l}=l$

On réduit au même dénominateur et on multiplie par $l$ qui est non nul :

$l^2-l-1=0$ 

$\Delta=5$

La valeur exacte positive de cette équation est $l=\frac{1+\sqrt5}{2}$

$l\approx 1,618$

Résoudre $f(l)=l$.