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Video
La continuité
2
Exercice
QCM - Continuité de fonctions
3
Video
Image d'une suite convergente par une fonction continue
4
Exercice
QCM - Image d'une suite convergente par une fonction continue
5
Exercice
Exercice - Convergence d'une suite récurrente
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Théorème des valeurs intermédiaires
7
Exercice
QCM - Théorème des valeurs intermédiaires
8
Exercice
Exercice - Racine d'une fonction de degré 3
L'énoncé
On considère la fonction suivante dans un repère orthonormé :
Pour tout $x \in \mathbb{R}, f(x) = x^3+x-6$
Question 1
Etudier les variations de $f$.
Pour tout $x\in \mathbb{R}, f(x) = x^3+x-6$ donc :
pour tout $x \in \mathbb{R}, f'(x) = 3x^2+1$
Il apparaît que $f'(x)>0$ donc la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Il faut dériver la fonction. C'est du programme de 1re.
Question 2
Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=0$ sur l'intervalle $[0;2]$.
On notera $\alpha$ cette valeur.
On a $f(0)=-6<0$ et $f(2)=8+2-6=4>0$
La fonction $f$ est une fonction polynôme donc continue sur $[0;2]$ et elle est aussi strictement croissante (voir question 1).
Or, $0\in [-6;4]$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in [0;2]$ tel que $f(\alpha)=0$