Cours Stage - Continuité, théorème des valeurs intermédiaires

Exercice - Racine d'une fonction de degré 3

L'énoncé

On considère la fonction suivante dans un repère orthonormé : 

Pour tout $x \in \mathbb{R}, f(x) = x^3+x-6$

 


Question 1

Etudier les variations de $f$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}, f(x) = x^3+x-6$ donc :

pour tout $x \in \mathbb{R}, f'(x) = 3x^2+1$

Il apparaît que $f'(x)>0$ donc la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

 

Il faut dériver la fonction. C'est du programme de 1re.

Question 2

Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=0$ sur l'intervalle $[0;2]$.

On notera $\alpha$ cette valeur.

On a $f(0)=-6<0$   et  $f(2)=8+2-6=4>0$

La fonction $f$ est une fonction polynôme donc continue sur $[0;2]$ et elle est aussi strictement croissante (voir question 1).

Or, $0\in [-6;4]$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in [0;2]$ tel que $f(\alpha)=0$