Cours Stage - Fonctions convexes

Exercice - Continuité d’une offre

L'énoncé

Sur le marché des pommes, l’offre des producteurs est modélisée par la fonction suivante :

\( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 5- \dfrac{6}{x+3} \text { pour } 0 \leq x \leq 4 \\ 0,1(x-1)^2 +2 \text { pour } x > 4 \end{array} \right. \) où \(x\) est la quantité proposée, en centaine de kilogrammes et \(f(x)\) le prix en euro par cageot de 10kg.


Question 1

Calculer le prix au kg pour 300kg, puis pour 600kg.

\(f(3) = 5-1=4\).
4€ est le prix par cageot de 10kg. On trouve donc 40 centimes par kg.

\(f(6) = 2,5 +2 = 4,5\).
4,5€ est le prix par cageot de 10kg. On trouve donc 45 centimes par kg.

As-tu utilisé la bonne expression de \(f\) en fonction de l’ensemble de définition ? Attention ! Le résultat est demandé par kg et non par cageots de 10kg.

Question 2

Si un producteur vend 500kg, calculer le prix d'un cageot de 10kg. En déduire le chiffre d'affaire dégagé par la totalité de cette vente.

\(f(5) =1,6+2=3,6\).
Un cageot de 10kg vaut 3,6€€ pour 500kg vendus.

\(3,6 \times50 = 180\).
Le chiffre d'affaire dégagé pour 500kg vendus est 180€€.

Le calcul est évident ! Combien faut-il de cageots de 10kg pour obtenir 500kg ?

Question 3

Étudier le sens de variation de \(f\).

\( f'(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{6}{(x+3)^2}\text { pour } 0 \leq x \leq 4 \\ 0,2(x-1) \text { pour } x > 4 \end{array} \right. \)


Dans les deux cas, \(f'(x)\) est positive, donc \(f\) est croissante pour tout \(x\) sur \([0 ; +\infty[\).

Avez-vous dérivé les deux expressions ? Il faut raisonner séparément suivant les valeurs de \(x\).

Question 4

Étudier la continuité de cette offre.

\(f(4) = 5 - \dfrac{6}{7} \approx 4\) et

\( \displaystyle\lim_{x \to 4^+} f(x) = 2,9\)

On ne peut donc pas tracer \(f\) sans lever le crayon, elle n'est pas continue sur \([0 ; +\infty[\).

Savez-vous ce qu’est une fonction continue ? Sinon, regardez la vidéo dans les prérequis.

Question 5

Est-elle concave ? Convexe ? Interpréter ce résultat.

Pour \(0 \leq x\leq 4, f''(x) = \dfrac{-12}{(x+3)^3}\)
\( f''(x)\) est négative, donc \(f\) est concave.

Pour \(x>4, f''(x) = 0,2\)
\(f''(x)\) est positive, donc \(f\) est convexe.

  • Lorsque \(f\) est concave, le prix augmente faiblement en fonction du nombre de cageots vendus.
  • Lorsque \(f\) est convexe, le prix augmente rapidement en fonction du nombre de cageots vendus.

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Savez-vous ce qu’est une fonction concave ? Convexe ? Un doute ? Regardez la vidéo dans les prérequis.