Cours Dérivées de fonctions
Exercice d'application

Exercice : Limites et dérivation

On considère la fonction suivante. $f(x)= \dfrac{-x+1}{x+3}$      sur    $D= \mathbb{R}- \{-3\} $

1) Calculer les limites aux bornes de son ensemble de définition $D$ et déterminer une équation de chacune des éventuelles asymptotes horizontales et/ou verticales

2) Calculer sa dérivée et en déduire ses variations.

3) A l'aide de la calculatrice, représentez la fonction dans un repère.

 

1) La fonction $f$ est définie sur $D=]-\infty;-3[ \cup ]-3;+\infty[$       par :   $f(x)= \dfrac{-x+1}{x+3}$.

On a : $\begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to -\infty} -x+1= +\infty  \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} x+3 = -\infty    \end{cases}$.

Les règles de calcul sur les limites ne permettent pas de conclure directement.

Cependant, pour $x \in D$ et $x$ non nul, on peut écrire :      

$ f(x)= \dfrac{x\bigg(-1+ \dfrac{1}{x}\bigg)}{x\bigg(1+ \dfrac{3}{x}\bigg)}= \dfrac{-1+ \dfrac{1}{x}}{1+ \dfrac{3}{x}}$

On en déduit :   $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$.

 

De la même façon, on démontre que :     $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=-1$.

La courbe d'équation $y=f(x)$ admet donc une asymptote horizontale d'équation $y=-1$.

 

Étudions les limites de $f$ en -3.

On a : $\begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to -3} -x+1= 4  \\ \displaystyle\lim_{x \to -3} x+3 = 0    \end{cases}$            

En passant au quotient la limite en -3 de $f$ est infinie.

 

Plus précisément, si $x<-3$ alors $x+3<0$ donc :

 $ \displaystyle\lim_{\substack{x \to -3 \\ x<-3}} f(x)=-\infty$

                    

Et si $x>-3$ alors $x+3>0$ donc :

 $ \displaystyle\lim_{\substack{x \to -3 \\ x>-3}} f(x)=+\infty$

La courbe représentant la fonction $f$ admet donc une asymptote verticale d'équation $x=-3$.

 

2) $f$ est dérivable sur son ensemble de définition. Calculons la dérivée de $f$ :

Posons $\begin{cases} u(x)=-x+1 \\ v(x)=x+3   \end{cases}$, on en déduit : $\begin{cases} u'(x)=-1 \\ v'(x)=1   \end{cases}$.

On sait que $\bigg( \dfrac{u}{v} \bigg)'= \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Donc, $\fbox{$f'(x)=\dfrac{-(x+3)-(-x+1)}{(x+3)^2}=-\dfrac{4}{(x+3)^2}$}$.

homographique

 

3) Voici la représentation graphique :

dfrac{-x+1}{x+3}