Cours Stage - Composée de deux fonctions

Exercice - composée de deux fonctions

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes


Question 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\left [0; 1 \right ]$ par $f(x) = \dfrac{1-x}{1+2x}$. 
Montrer que $f$ est continue et dérivable sur $\left [0; 1 \right ]$, puis calculer $f'$.

$f$ est dérivable sur $\left [0; 1 \right ]$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. $f$ est donc aussi continue sur cet intervalle car dérivable. 
Soit $x \in [0; 1]$,
$f'(x) = \dfrac{-(1+2x) -2(1-x)}{(1 + 2x)^2} = \dfrac{-3}{(1+2x)^2}$

On pourra remarquer que $f$ est définie comme un quotient de deux fonctions...

Question 2

Calculer $f \circ f$.

Soit $x \in [0;1]$,
$f(f(x)) = \dfrac{1-\left (\dfrac{1-x}{1+2x} \right)}{1+2\left (\dfrac{1-x}{1+2x} \right)} = \dfrac{1+2x-1+x}{1+2x+2-2x} = \dfrac{3x}{3} = x $

On se rappellera que $f\circ f(x) = f \big[f(x)\big]$

Question 3

Montrer que la fonction $g(x) = \sqrt{\dfrac{1-x}{1+2x}}$ est bien définie sur $[0;1]$

On cherche à savoir si $\dfrac{1-x}{1+2x} \geq 0$ pour $x \in [0;1]$
Soit $x \in [0;1]$,
$\dfrac{1-x}{1+2x} \geq 0$
$\iff 1 - x \geq 0$ (car $1+2x \geq 0$)
$\iff 1 \geq x$
Donc $g$ est bien définie.

Question 4

Calculer $g'$ en précisant le domaine de dérivabilité.

On remarque que $g(x) = \sqrt{f(x)}$.
De plus, la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $x = 0$. Or $f(1) = 0$, $g$ est donc dérivable sur $[0;1[$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $[0;1[$. 
Soit $x \in [0;1[$,
$g'(x) = f'(x) \times \dfrac{1}{2\sqrt{f(x)}} = \dfrac{-3\sqrt{1+2x}}{2(1+2x)^2\sqrt{1-x}}$

On pourra utiliser la question $1$.

Question 5

On définit pour tout $x \in [0;1]$, $h(x)=\exp\left ( {\sqrt{\dfrac{1-x}{1+2x}}} \right )$.
Calculer $h'$ après avoir donner son ensemble de dérivabilité. 

On remarque que $h(x) = e^{g(x)}$.
$h$ est donc dérivable sur $[0; 1[$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $[0;1[$.
Soit $x \in [0;1[$,
$h'(x) = g'(x)\times e^{g(x)}$
$\iff h'(x) = \dfrac{-3\sqrt{1+2x}}{2(1+2x)^2\sqrt{1-x}} \exp\left ( {\sqrt{\dfrac{1-x}{1+2x}}} \right )$.

On utilisera la question précédente.