Cours Stage - dérivée seconde d'une fonction

Exercice - Dérivée seconde d'une fonction

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes


Question 1

On souhaite étudier les variations de la fonction $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}^*_+$ par

$f(x) = \dfrac{1}{x}+x\ln(x)$.

Calculer $f'$.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*_+$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}^*_+$. 
Soit $x \in \mathbb{R}^*_+$,
$f'(x) =-\dfrac{1}{x^2} +\ln(x) + 1$

On pourra commencer par justifier la dérivabilité de $f$.

Question 2

On souhaite étudier le signe de la dérivée. Quelle difficulté rencontre-t-on alors ? 

On constate qu'il n'est pas aisé de calculer le signe de la dérivée. 

Peut on calculer facilement le signe de la dérivée ?

Question 3

Calculer alors $f''$.

$f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*_+$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}^*_+$.
Ainsi, soit $x \in \mathbb{R}^*_+$,
$f''(x) = \dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x}$

On dérivera $f'$.

Question 4

Etudier le signe de $f''$ puis en déduire les variations de $f'$.

Soit $x \in \mathbb{R}^*_+$,
on sait que les fonctions $x \mapsto x$ et $x \mapsto x^3$ sont positives sur cet intervalle et ne s'annulent pas.
Ainsi, les fonctions $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ et $x \mapsto \dfrac{2}{x^3}$ sont positives sur cet intervalle.
Finalement, $f"(x)$ est donc positive pour tout $x \in \mathbb{R}^*_+$, $f'$ est donc strictement croissante sur ce même intervalle.

On utilisera le signe de $f''$ pour trouver les variations de $f'$.

Question 5

Calculer $f'(1)$ puis en déduire les variations de $f$.

On commence par calculer $f'(1)$.
$f'(1) = -\dfrac{1}{1^2} +\ln(1) + 1 = -1 + 0 + 1 = 0$.
Or on sait que $f'$ est croissante.
Ainsi, pour $x \in ]0; 1]$, on a $f'(x) \leq 0$ donc $f$ est donc  décroissante sur cet intervalle.
De même, pour $x \in [1, +\infty[$, on a $f'(x) \geq 0$ donc  $f$ est croissante sur cet intervalle.

On se rappellera les variations de $f'$.

Question 6

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son intervalle de définition. 

On commence par calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
Tout d'abord, $\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim \limits_{x \to +\infty} x\ln(x) = + \infty$.
Donc $\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
On s'intéresse enfin à la limite de $f$ en $0$.
Tout d'abord, $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = +\infty$ et $\lim \limits_{x \to +\infty} x\ln(x) = 0$, par croissance comparée.
Donc $\lim \limits_{x \to 0} f(x) = +\infty$.

On utilisera les croissances comparées.