Cours Stage - Sinus et cosinus, équations et inéquations

Exercice - Trigonométrie et calculs élémentaires

L'énoncé

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant ta réponse. Si la proposition est fausse, trouver la modification qui la rend vraie.

Question 1

\(\cos(\frac{99 \pi}{8} ) = \cos (\frac{83 \pi}{8} )\)

La proposition est VRAIE.

On a : \(\frac{99 \pi}{8} = \frac{83 \pi + 16 \pi}{8} = \frac{83 \pi}{8} + 2 \pi\)

Rappelons alors que : \(\cos(x+2 \pi) = \cos(x)\)

Donc on a bien : \(\cos(\frac{99 \pi}{8} ) = \cos (\frac{83 \pi}{8} )\)

Il faut trouver une relation entre \(\frac{99 \pi}{8}\) et \(\frac{83 \pi}{8}\) : par exemple, on a que \(99 \pi = 83 \pi + 16 \pi\). Remplacer dans les quotients…
Quelle est la relation entre \(\cos(x+2\pi)\) et \(\cos(x)\) ? Ce point est fondamental, si tu as des doutes, revois les séquences de cours…

Question 2

On a pour tout \(x\) réel :\(\cos(-x) = - \cos(x)\)

C'est faux bien sûr !
Pour s'en convaincre, placez sur le cercle \(x\) et \(-x\) :

On constate qu'ils ont le même cosinus : soit \(\cos(-x) = \cos(x)\)

Pour justifier, on peut donner un contre-exemple, montrant que l'égalité proposée est fausse :

\(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\) et \(\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\)

Vérifiez sur le cercle trigonométrique...
Vous pouvez aussi aller chercher dans un formulaire.

Question 3

\(A = \sin(\frac{\pi}{8}) - \sin(\frac{3\pi}{8}) + \sin(\frac{5\pi}{8}) - \sin(\frac{7\pi}{8}) = 0\)

La proposition est VRAIE.
On remarque que :
\(\frac{7\pi}{8} = \frac{8\pi - \pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}\) donc on a :

\(\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})\)

De même, on sait que :
\(\frac{5\pi}{8}= \frac{8\pi-3\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}\) donc on a :

\(\sin(\frac{5\pi}{8})=\sin(\frac{3\pi}{8})\)

Finalement :
\(A= \sin(\frac{\pi}{8}) - \sin(\frac{3\pi}{8}) + \sin(\frac{3\pi}{8}) - \sin(\frac{\pi}{8})\)

\(A =0\)

Il faut trouver une relation entre \(\sin(\frac{\pi}{8}),\sin(\frac{3\pi}{8}), \sin(\frac{5\pi}{8}) \ \) et \(\sin(\frac{7\pi}{8}) \ \) : tu as à ta disposition toutes les relations sur \(\sin(x+\pi) \ \), ou \(\sin(\pi-x).\)
Essaye de voir ce que ça donne ici !
Il faut avoir repéré que \(\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{8\pi - \pi}{8}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}). \)
Fais un raisonnement similaire pour établir un lien entre \(\sin(\frac{5\pi}{8}) \ \) et \(\sin(\frac{3\pi}{8}).\)
On trouve que \(\sin(\frac{5\pi}{8})=\sin(\frac{3\pi}{8}). \ \) Il suffit ensuite de remplacer !

Question 4

\(A(x) = \cos (\pi + x) + 2 \cos (-2 \pi + x) + 3 \cos (3 \pi +x)=0\)

La proposition est FAUSSE.
On utilise le fait que :
\(\cos(x+\pi) = -\cos(x)\) Les points du cercle trigonométrique correspondants à \(x\) et à \(x-2\pi\) sont confondus.
On a donc : \(\cos(x-2\pi) = \cos(x)\)

De même,
\(\cos(3\pi+x)=\cos(x+\pi+2\pi) = \cos(x+\pi)=-\cos(x)\)

En remplaçant, on a :
\(A(x)= -\cos(x)+2\cos(x)+3(-\cos(x))\)

Soit : \(A(x)=-2\cos(x)\)

La réponse proposée est bien fausse, la bonne réponse est :
\(\cos (\pi + x) + 2 \cos (-2 \pi + x) + 3 \cos (3 \pi +x)=-2\cos(x)\)

C’est un classique : trouver des relations entre \(\cos(\pi+x), \cos(-x+2\pi)\) et \(\cos (x+3\pi).\)
Utilise ton cours ou des lectures sur le cercle trigonométrique.

Question 5

On a pour tout \(x\) réel, \(\sin(2x) = 2\sin(x)\)

La proposition est FAUSSE.
On prend \(x=\frac{\pi}{4}\) par exemple.

Alors on a :

\(\sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2})=1  \)

et \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Donc, \(2\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\)

Finalement :

\(\sin(2 \times \frac{\pi}{4}) \neq 2\sin(\frac{\pi}{4})\)

L'égalité correcte serait \(\sin(2x) = 2\sin(x) cos(x)\)

Regarde dans le formulaire…
Remplace \(x\) par \(\frac{\pi}{4}\) pour voir ce que ça donne…

Question 6

L'équation \(\sin(2x) = \frac{1}{2} \ \) possède comme solutions les réels :

\(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \) et \(x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi\) , avec \(k\) un entier relatif.

La proposition est FAUSSE :

\(\sin(X) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} X = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ X = \pi- \frac{\pi}{6} + 2k\pi \end{array}\right. \)

Donc :

\(\sin(2x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ 2x = \pi- \frac{\pi}{6} + 2k\pi \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = \frac{\frac{\pi}{6}+2k\pi}{2} \\ x = \frac{\frac{5\pi}{6}+2k\pi}{2} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = \frac{\pi}{12}+k\pi \\ x = \frac{5\pi}{12}+k\pi \end{array}\right. \)

Les solutions de l'équation \(\sin(2x) = \frac{1}{2} \ \) sont les réels de la forme:

\(x = \frac{\pi}{12}+k\pi \ \) et \(x = \frac{5\pi}{12}+k\pi\) , avec \(k\) entier relatif.

Vous pouvez déjà remplacer dans l’équation pour savoir si elle est vérifiée ou pas ! Cela nécessite de connaître la valeur de \(\sin(\frac{\pi}{3})\)…
\(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) : la proposition est fausse. Il faut maintenant la corriger, et donc résoudre l’équation \(\sin(2x) = \frac{1}{2}\) : c’est une forme classique d’équation trigonométrique ! On commence par trouver les réels dont le sinus vaut \(\frac{1}{2}\) : à vous de jouer !
Ne pas se tromper : c’est bien \(2x\) qui doit vérifier que \(2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\). Ensuite, il faut en déduire les valeurs possibles pour \(x\) !
Pour trouver les valeurs de \(x\), on divise par 2 (et c’est la totalité du membre de droite qui est divisée par 2, même le \(2k\pi\)).