Cours Stage - Études de fonctions trigonométriques

Exercice - Fonctions trigonométriques 2

L'énoncé

Dans tout cet exercice, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = \cos^2(x) \times \sin(2x)\)

On note \(C_f\) sa courbe représentative.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si l’affirmation est vraie ou fausse. Justifier la réponse.


Question 1

La fonction \(f\) est \(\pi-\) périodique.

On a : \(f(x + \pi) = \cos^2(x+\pi) \times \sin(2(x+\pi))\)

\(f(x + \pi)=\cos^2(x+\pi) \times \sin(2x+2\pi)\)

\(f(x + \pi)=(-\cos(x))^2 \times \sin(2x)\)

\(f(x + \pi)=\cos^2(x) \times \sin (2x)\)

Il est clair que \(f(x+\pi)\) est bien égal à \(f(x)\) : la proposition est VRAIE.

Evidemment, il faut connaître par cœur la définition de « fonction périodique »… Elle se trouve dans le cours !
Il faut savoir si \(f(x+\pi) = f(x)\) : écrire chacune de ces expressions, puis les comparer.
On a besoin de la formule : \(\cos(x+\pi) = -\cos(x) \) (voir le cercle pour s’en convaincre) et aussi de \(\cos(x+2\pi)\) (la fonction cosinus est \(2\pi -\) périodique).

Question 2

La fonction \(f\) est paire.

On a :
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et :
\(f(-x) = \cos^2(-x) \times \sin(-2x)\)

\(f(-x)= \cos^2(x) \times (-\sin(2x))\)

\(f(-x)=-\cos^2(x) \times (\sin(2x))\)

\(f(-x)= -f(x)\)

On en déduit que \(f\) n'est pas paire (elle est impaire) : la proposition est FAUSSE.

On compare \(f(x)\) et \(f(-x)\).
On utilise que \(\cos(-x) = \cos(x)\) et \(\sin(-x) = -\sin(x)\) (s’en convaincre par observation du cercle trigonométrique).
Obtienez-vous que \(f(-x)\) est égal à \(f(x)\) ? Si oui, la fonction est paire, sinon, elle ne l’est pas !

Question 3

La courbe représentative de \(f\) admet le centre du repère comme centre de symétrie.

 \(f\) est impaire et sa courbe admet le centre du repère comme centre de symétrie. La proposition est VRAIE.

Dit autrement, cela signifie que la fonction \(f\) serait impaire !
On vérifie si l’on a \(f(-x) = -f(x)\). Utilisez le calcul fait au 2)a).

Question 4

La dérivée de \(f\) est égale à \(f'(x) = 2\cos(x)(\cos(x) \times \cos(2x) - \sin(x) \times \sin(2x))\)

On pose : \(u(x) = \cos^2(x)\) et \(v(x) = \sin(2x)\)
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).
On a : \(u'(x) = -2\sin(x) \times \cos(x)\) et \(v'(x) = 2\cos(2x)\)
Comme \((u \times v) = u'v+uv'\)
\(f'(x) = -2\sin(x) \times \cos(x) \times \sin(2x) + \cos^2(x) \times (2\cos(2x))\)

\(f'(x)=-2\cos(x)(-\sin(x)\times \sin(2x)+\cos(x)\times\cos(2x))\)

\(f'(x) = 2\cos(x)(\cos(x) \times \cos(2x) -\sin(x) \times \sin(2x))\)

Proposition VRAIE

On a besoin de commencer par dériver \(\cos^2(x)\) et \(\sin(2x)\).
Prends ton temps pour ne pas faire d’erreur !
Les formules de dérivation utiles sont : \((u^2)' = 2 \times u' \times u\) et aussi la propriété : si \(f(x) = g(ax+b)\) alors \(f'(x) = a \times g'(ax+b)\).
Pour finir, on remarque que \(f(x) = u(x) \times v(x)\) : on doit donc dériver le produit grâce à \((uv)' = u'v+uv'\) : allez-y !

Question 5

On sait que :\(f'(x) = 2\cos(x)(\cos(x) \times \cos(2x) - \sin(x) \times \sin(2x))\)

La dérivée de \(f\) peut se mettre sous la forme \(f'(x) = 2 \times \cos(x) \times \cos(3x)\)

\(f'(x) = 2\cos(x)(\cos(x) \times \cos(2x) - \sin(x) \times \sin(2x))\)

Pour finir, on utilise l'une de ses formules d'addition :
on a que : \(\cos(a+b) = \cos(a)\times \cos(b) - \sin(a)\times \sin(b)\)
\(f'(x) = 2\cos(x) \times \cos(x+2x)\)

\(f'(x)=2\cos(x) \times \cos(3x)\)

La proposition est VRAIE.

Il faut connaitre ses formules de trigonométrie.
Une formule de trigonométrie est indispensable ici ! C’est l’une des formules d’addition : \(\cos(a+b) = \cos(a)\times \cos(b) - \sin(a)\times \sin(b)\)

Question 6

Sur l'intervalle \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\),  l'équation \(\cos(x) \times \cos(3x) = 0\) possède trois solutions.

Résolvons \(\cos(x) \times \cos(3x) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left}\cos(x)= 0\\\cos(3x) = 0 \end{array}\right.\)

On résout chacune de ces deux équations :
\(\cos(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2}\) sur l'intervalle \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).
\(\cos(3x) =0  \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} 3x = \dfrac{\pi}{2}+2k\pi\\ 3x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \end{array}\right.\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}\\ x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3} \end{array}\right.\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)

Les solutions qui sont dans l'intervalle \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\) sont uniquement les valeurs suivantes :
\(x = \dfrac{\pi}{6}\) (c'est la formule \(x = \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}\) appliquée avec \(k=1\)) et on peut vérifier que toutes les autres valeurs de \(k\) donnent des solutions qui ne sont plus dans l'intervalle d'étude \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\) : faites quelques calculs pour vous en convaincre.

\(x = \dfrac{\pi}{2}\) : cette valeur s'obtient grâce à l'autre formule appliquée avec \(k=1\) : voici le détail du calcul :
\(x = -\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\) Là encore c'est la seule solution qui appartient à l'intervalle \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

En conclusion : les solutions obtenues sont les réels \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) :
La proposition est FAUSSE, (il y a seulement deux solutions).

La première étape est naturelle : un produit est égal à 0..
La règle du produit nul donne donc...
Pour \(\cos (x) = 0\), on utilise le cercle.
N’oubliez pas que la résolution est demandée sur \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\)
Pour \(\cos(3x) = 0\), il y a un peu plus de travail, mais c’est aussi un grand classique ! Voir l’astuce suivante pour la première étape de cette résolution !
On a que : \(\cos(3x) = 0 \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) ou \(3x = -\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)

Question 7

On sait que :\(f'(x) = 2 \times \cos(x) \times \cos(3x)\)

La tangente à la courbe \(C_f\) est horizontale au point de coordonnées \(\left( \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{3\sqrt{3}}{8}\right)\).

On montre déjà que : \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{3\sqrt{3}}{8}\)

\(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos^2\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \times \sin\left(2\times \dfrac{\pi}{6}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{8}\)

La courbe passe bien par le point de coordonnées \(\left( \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{3\sqrt{3}}{8}\right)\).

On vérifie aussi que \(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0\)


\(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \times \cos\left(3\times \dfrac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \times \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) =0\)

La dérivée s'annule en \(\dfrac{\pi}{6}\) : la tangente est bien horizontale en ce point !
La proposition est VRAIE.

Remarque : on pouvait bien sûr utiliser la question 6 lors de laquelle nous avions déjà prouvé que la dérivée s'annulait pour les réels \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) !

Que faut-il vérifier ici ? Tu dois trouver deux conditions à contrôler !
Premier réflexe : déjà il faudrait voir si l’image de \(\dfrac{\pi}{6}\) est bien \(\dfrac{3\sqrt{3}}{8}\).
Deuxième réflexe : qui dit tangente horizontale, dit dérivée qui… ?
Qui dit tangente horizontale, dit dérivée qui s’annule.

Question 8

On sait que :\(f'(x) = 2 \times \cos(x) \times \cos(3x)\)

La fonction \(f\) est croissante sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\)

Si \(0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{6}\), alors \(\cos(x) \geq 0\)

Si \(0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{6}\) on a \(0 \leq 3x \leq \dfrac{\pi}{2}\)

Or entre 0 et \(\dfrac{\pi}{2}\) le cosinus est positif : soit \(\cos3x >\) ou égal à 0 sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\).

Finalement, on a \(\cos(x) \geq 0\) et \(\cos(3x) \geq 0\) donc

\(f'(x) \geq 0\) et \(f\) est croissante sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\).

La proposition est VRAIE.

Que faut-il vérifier ici ? C’est en rapport avec la dérivée… On a que : \(f'(x) = 2 \times \cos( x) \times \cos(3x)\)
On regarde si la dérivée est positive sur l’intervalle \(\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\).. Prendre la forme factorisée de \(f’(x)\).
On a besoin d’un encadrement de \(3x\) pour connaître le signe de \(\cos(3x)\), et encore une fois du cercle trigonométrique :
Si \(x\) varie dans \(\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\) alors \(0 \leq 3x \leq \dfrac{\pi}{2}\) : que lit-on pour le signe du cosinus sur entre \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\) ?

Question 9

Sur l'intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\), on peut affirmer que la courbe possède 4 tangentes horizontales.

On sait qu'il y a deux tangentes horizontales sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) puisque sur cet intervalle la dérivée s'annule deux fois (voir la question 6).
Comme la courbe admet le centre du repère comme centre de symétrie, il y a encore deux tangentes horizontales sur l'intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]\).

Au total on obtient 4 tangentes horizontales sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\).
La proposition est VRAIE.

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Combien y-a-t-il de tangentes horizontales sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) ?
Utilisez la question 4) a) !
D’après la 4) a) on sait que sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) la dérivée s’annule 2 fois... Maintenant il faut agrandir l’intervalle d’étude à \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\).
On utilise la symétrie par rapport à l’origine !