Cours Stage - orthogonalité

Exercice - Orthogonalité

L'énoncé

- Répondre aux questions suivantes


Question 1

Soit $ABCDEFGH$ un cube,
Soient $M$ le milieu de $[AB]$,$N$ le milieu de $[EH]$, et $O$ le milieu de $[BC]$, 

cube_orthogonalite
Justifier que $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ constitue une base orthonormée de l'espace.

 

Tout d'abord, les trois vecteurs sont orthogonaux car les arrêtes d'un cube issues d'un même sommet sont perpendiculaires.
En outre, le vecteur $\overrightarrow{AE}$ est normal au plan $ABD$.
Les trois vecteurs ne peuvent donc être coplanaires.
Ils constituent donc une base de l'espace. 

On pourra justifier que les trois vecteurs ne sont pas coplanaires. 

Question 2

On se place donc dans le repère $(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ .
Démontrer que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(MNO)$

On commence par calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{NM}$ et $\overrightarrow{NO}$ dans le repère$(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$. 
Ainsi, $\overrightarrow{NM} \left ( \begin{array}{c} \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} \\ -1 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{NO} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right )$
Le vecteur directeur de la droite $(FD)$ est $\overrightarrow{FD} \left ( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right )$.
Enfin, $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{FD} = 0.5 \times (-1) -0.5\times 1 -1\times(-1) = -1 + 1 = 0$ et $\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{FD}=1 \times (-1) -1\times (-1) = 0$.
$\overrightarrow{FD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(MNO)$, la droite $(FD)$ est donc orthogonale à ce plan.

On pourra calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{NM}$ et $\overrightarrow{NO}$.

Question 3

Donner une équation cartésienne du plan $(MNO)$.

On sait d'après la question précédente que $\overrightarrow{FD}$ est normal au plan $(MNO)$. Une équation cartésienne du plan est donc de la forme $-x + y - z + d = 0$, avec $d$ une constante qu'il s'agit de déterminer.
On sait que le point $M$ appartient au plan, ainsi ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne du plan.
Donc $-\dfrac{1}{2} + 0 - 0 + d = 0$ ainsi, $d = \dfrac{1}{2}$.
Une équation est donc $-x + y - z + \dfrac{1}{2} = 0$

On pourra utiliser le résultat de la question précédente. 

Question 4

Déterminer les coordonnées du point d'intersection $K$ entre la droite $(FD)$ et le plan $(MNO)$.

On commence tout d'abord par déterminer l'équation paramétrique de la droite $(FD)$.
Soit $I(x, y, z)$ un point de l'espace,
$I \in (FD)$,
$\iff$ il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{FI} = t \overrightarrow{FD}$
$ \iff$ il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\left \{ \begin{array}{lcr} x-1 &=&-t \\ y &=&  t\\ z -  1&=&  -t\end{array} \right.$
$ \iff$ il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\left \{ \begin{array}{lcr} x &=&1-t \\ y &=&  t\\ z &=&  1-t\end{array} \right.$

L'équation paramétrique de la droite $(FD)$ est donc $\left \{ \begin{array}{lcr} x &=&1-t \\ y &=&  t\\ z &=&  1-t\end{array} \right.$, $t \in \mathbb{R}$.

Soit $J$ un point de $(FD)$,
$J \in MNO \iff -(1-t) +  t - (1 - t) + \dfrac{1}{2} = 0 \iff t = \dfrac{1}{2}$.
Finalement, les coordonnées du point $K$ sont $(0.5; 0.5; 0.5)$

On pourra commencer par déterminer une équation paramétrique de la droite.

Question 5

Démontrer que le triangle $MNO$ est un triangle rectangle. 

On calcule le produit scalaire de $\overrightarrow{MN}$ par $\overrightarrow{MO}$ : 
$\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MO} = -0.5 \times 0.5 + 0.5 \times 0.5 + 1 \times 0 = 0 $.
Le triangle $MNO$ est donc un triangle rectangle en $M$.

On calculera le produit scalaire de $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MO}$.

Question 6

Calculer le volume du tétraèdre $FMNO$.

On commence par calculer l'aire du triangle $MNO$.
L'aire est égale à $ \dfrac{MN \times MO}{2}$
Or $MN = \sqrt{(-0.5)^2 +0.5^2 + 1^2} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ et $MO = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Finalement, l'aire vaut $ \dfrac{\sqrt{\dfrac{3}{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

Le volume du tétraèdre correspond à $\dfrac{\text{aire base}\times \text{hauteur}}{3}$.
Or, on sait que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan et on connait les coordonnées du point d'intersection $K$.
Ainsi, la hauteur vaut $KF = \sqrt{(1-0.5)^2+(0-0.5)^2+(1-0.5)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Finalement, le volume vaut $\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\dfrac{1}{8}$

On commencera par calculer l'aire du triangle $MNO$


Le volume du tétraèdre correspond à $\dfrac{\text{aire base}\times \text{hauteur}}{3}$.


On s'aidera enfin de la question 4.