Cours Primitives de fonctions ln, exponentielles. Décompositions

Exercice - Primitives et décompositions

L'énoncé

1) Soit \(g\) la fonction définie sur l’intervalle \(\left]1;+\infty\right[\) par : \(g(x)=\dfrac{1}{x(x^2-1)}\)

2) Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(\left]1 ; +\infty \right[ \) par : \(f(x)=\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}\)


Question 1

Déterminer les nombres réels \(a, b\) et \(c\) tels que lon ait, pour tout \(x > 1\) :

\(g(x) = \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x-1}\)

\(g(x)=\dfrac{1}{x(x^2-1)}\)

\(g(x) = \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x-1}\)

\(g(x)=\dfrac{a(x+1)(x-1)+bx(x-1)+cx(x+1)}{x(x+1)(x-1)}\)

\(g(x)=\dfrac{(a+b+c)x^2+(c-b)x-a}{x(x+1)(x-1)}\)

Point méthode :

Une fois que vous avez exprimé \(g(x)\) sous la forme d'un unique quotient en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\), vous pouvez affirmer que cette expression vaut celle donnée dans l'énoncé. C'est normal, il s'agit bien de \(g(x)\).
Les dénominateurs étant égaux, vous allez égaliser les numérateurs. C'est la méthode d'identification. Pour ce faire, on utilise un théorème fondamental sur les polynômes : « Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils sont de même degré et leurs coefficients sont respectivement égaux ». Pour deux trinômes, on a donc :
\(ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c'\) si et seulement si \(a=a' ; b=b'\) et \(c=c'\).

On obtient donc par identification :
\(\left\{\begin{array}{left}a+b+c=0 \\ c-b=0 \\ -a=1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left}b+c=1 \\ c-b=0 \\ a=-1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left}b=\dfrac{1}{2} \\ c=\dfrac{1}{2} \\ a=-1 \end{array}\right. \)

On a donc \(g(x) = -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x-1}\)

Démarrez votre calcul en prenant l’expression de \(g(x)\) en fonction de \(a, b\) et \(c\).
Réduisez au même dénominateur.
Procédez à présent à une identification des deux numérateurs des deux expressions de $g(x)$.

Question 2

Trouver une primitive \(G\) de \(g\) sur lintervalle \(\left]1;+\infty\right[\).

On a :\(g(x) = -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x-1}\)

Donc :\(G(x) = \displaystyle \int g(x)dx= -\ln|x|+\dfrac{1}{2}\times \ln|x+1|+\dfrac{1}{2}\times \ln|x-1|\)

Ainsi : \( G(x)=-\ln(x)+\dfrac{1}{2}\ln(x+1)+\dfrac{1}{2}\ln(x-1)\)

(Attention à ne pas oublier les valeurs absolues au départ, on les supprime par la suite car on est sur \(\left]1 ; +\infty \right[)\).

Avec la décomposition de \(g(x)\), vous pouvez en trouver une primitive.
Un oubli sur les primitives de fonctions usuelles ?
Ici, on fera apparaitre des expressions de la forme : \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) dont on connait une primitive : \(\ln|u(x)|+K\), \(K\) réel.

Question 3

Trouver une primitive \(F\) de \(f\) sur l'intervalle \(\left]1 ; +\infty \right[ \).

Pour trouver une primitive de \(f(x)=\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}\), il suffit d'utiliser : 

\(\displaystyle{\int} u'u^n dx=\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}\) avec \(u=x^2-1\) et \(n=-2\)

\(F(x) = \dfrac{1}{-2+1}(x^2-1)^{-2+1}=\dfrac{-1}{x^2-1}\)

Point méthode :

On remarque dans un premier temps que \(f(x)\) est de la forme \(\dfrac{u'(x)}{u^2(x)}\) avec \(u(x) = x^2-1\).
On peut aussi écrire \(f(x) = u'(x)× u(x)^{-2}\).
On sait qu'une primitive de \(\dfrac{u'(x)}{u^2(x)}\) est de la forme \(\dfrac{-1}{u(x)} + K\), \(K\) réel.
Ainsi \(F(x) = \dfrac{-1}{x^2-1}\).

En posant \(u(x) = x^2-1\), quelle forme apparait pour ce quotient ?
On a \(u’(x) =2x\) bien sûr...
Ainsi \(f(x)\) est de la forme \(\dfrac{u'(x)}{u^2(x)}\). Cherchez dans votre cours une primitive de \(f\).