Cours Stage - Équations différentielles y' = ay + b

Équations différentielles y' = ay + b

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Fiche de cours

Equations différentielles $y' = ay + b$

 

Propriété

 

Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls,

Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sont de la forme :

$f(x) =Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$, avec $C$ une constante réelle. 

La démonstration n'est pas à connaitre mais l'esprit de la preuve est intéressant.

 

Démonstration :

On commence par montrer que les fonctions de la forme $ f(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ avec $C$ une constante réelle, sont solutions.

Tout d'abord, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,

$f'(x) = aCe^{ax}$.

En outre,

$af(x) + b = aCe^{ax} - b + b = aCe^{ax} = f'(x)$.

Donc $f$ est bien solution de l'équation différentielle.

 

Réciproquement, on souhaite montrer que les fonctions solutions de l'équation différentielles $y' = ay + b$ sont de la forme $Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$, avec $C$ une constante réelle.

On commence tout d'abord par montrer que la fonction $g(x) = -\dfrac{b}{a}$ est solution de l'équation différentielle.

En effet,

$g'(x) = 0$ et $ag(x) + b = -b + b = 0$.

Donc $g'(x) = ag(x) + b$.

 

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$,<

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