Cours Stage - Équations différentielles y' = ay
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L'énoncé

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Question 1

Quelles sont les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$, $a \in \mathbb{R}$ ? 

$e^{ax} + C$ où $C$ est une constante réelle.

$Ce^{ax}$ où $C$ est une constante réelle.

C'est une propriété

$Ce^{ax} + k$ où $C$ et $k$ sont des constantes réelles.

Question 2

Il faut refaire à chaque fois la démonstration de la propriété.

Vrai

Faux

En effet, la propriété a été démontrée en cours et peut à présent être appliquée directement. 

Question 3

Comment démontre-t-on cette propriété ? 

En raisonnant dans le sens direct puis indirect.

On montre d'abord que $f$ est solution puis on cherche la forme d'une solution. 

On admet cette propriété.

En dérivant simplement la fonction $f$ donnée. 

Cela montre seulement que $f$ est solution mais pas que toutes les solutions sont de cette forme. 

Question 4

Quelle est la première étape de la démonstration ? 

On intègre l'équation différentielle. 

On raisonne par l'absurde. 

On montre que $f$ est solution de l'équation différentielle. 

C'est la première étape : c'est le sens direct. 

Question 5

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$, que faut la dérivée de $e^u$ ? 

$e^{u'}$

$ue^{u}$

$u'e^{u}$

Cela démontre en utilisant les propriétés de dérivation d'une fonction composée. 

Question 6

En quoi consiste la deuxième étape de la démonstration ? 

On regarde le sens réciproque.

On montre à présent qu'une solution est forcément de la forme $Ce^{ax}$. 

On montre que $f$ est bien solution de l'équation.

On montre qu'il existe des solutions différentes à l'équation différentielle. 

Question 7

Quelle hypothèse doit être faite pour trouver la forme de $f$ ?

$f$ doit être positive.

$f$ doit être non nulle.

En prenant $C$ égal à 0, on remarque donc que $f$ est de la forme $0 \times e^{ax}$ si $f$ est nulle.

Si $f$ est non nulle, on peut alors diviser par $f$. 

$f$ ne doit pas être constante.

Question 8

Quelle est l'étape majeure de la seconde partie de la démonstration ? 

La dérivation.

La composition.

L'intégration.

En effet, comme $f$ est solution, alors $f' = a f$ c'est à dire $\dfrac{f'}{f} = a$. On intègre alors cette équation car on reconnaît dans le terme de gauche la dérivée de $\ln \big|f(x) \big|$. 

Question 9

Donner une primitive de $\dfrac{f'(x)}{f(x)}.$

$\ln(f(x))$

$\ln \big|f(x) \big|$

En effet, une primitive de $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ est $ \ln \big|f(x) \big|$. L'usage de la valeur absolue provient du fait que le logarithme n'est défini que sur les réels positifs. 

$e^{f(x)}$

Question 10

Donner les solutions de l'équation $2y' - y = 0$. 

$e^{x}$

$e^{\frac{x}{2}}$

$Ce^{\frac{x}{2}}$

On applique pour cela la propriété du cours. Ainsi, $2y'-y = 0 \iff y' = \dfrac{y}{2}$ 

Les solutions sont donc de la forme $Ce^{\frac{x}{2}}$, avec $C$ un nombre réel.