Cours Stage - Équations différentielles y' = f(x)
QCM
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L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


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Question 1

Si une fonction admet une primitive, alors elle est unique. 

Vrai

Faux

Deux primitives d'une même fonction différent d'une constante.

Question 2

Deux primitives d'une même fonction sont forcément égales. 

Vrai

Faux 

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. 

Question 3

Que signifie : Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante ? 

Si $F$ et $G$ deux primitives de $f$, alors $ F - G = 0$.

Si $F$ et $G$ deux primitives de $f$, alors $ F - G = f$.

Si $F$ et $G$ deux primitives de $f$, alors $ F - G = c$, avec $c$ une constante.

Cela signifie que $F = G + c$ avec $c$ une constante. 

Question 4

Comment démontre-t-on ce résultat ? 

On l'admet. 

On utilise une nouvelle fonction.

On pose $H(x) = F(x) - G(x)$. 

On dérive $f$. 

Question 5

On pose $H(x) = F(x) - G(x)$, avec $F$ et $G$ deux primitives de $f$. Que veut-on montrer ? 

Que $H$ est une constante.

Si on parvient à le démontrer, on aura alors démontrer que $F - G = c$ avec $c$ une constante ; ce qui revient à dire que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. 

Que $H$ est nulle.

Que $H$ est une primitive de $f$.

Question 6

Pourquoi dérive-t-on $H(x) = F(x) - G(x)$ ? 

Pour pouvoir intégrer l'équation.

Car on ne connaît que les dérivées de $F$ et $G$. 

En effet, $F' = G' = f$. 

Question 7

Pourquoi $G' = f$ ? 

Car $f$ est la dérivée de $G$. 

Par unicité de la primitive.

Car $G$ est une primitive de $f$.

En effet, par définition d'une primitive on sait que $G' = f$. 

Question 8

Que vaut $H'(x)$ ? 

$0$

En effet, $H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x)$ par définition d'une primitive. Ainsi, $H'(x) = 0.$

$c$ avec $c$ une constante.

$f$

Question 9

Pourquoi peut-on conclure que $H(x) = c$, avec $c$ une constante ? 

Car une primitive de $H$ est nulle.

Car sa dérivée est nulle.

En effet, si une fonction a une dérivée nulle, cela signifie que cette fonction est une constante. 

Ainsi, $H(x) = c$ donc $F(x) - G(x) = c$.

Deux primitives d'une même fonction différent donc d'une constante.

Car $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ donc égales.

Question 10

Deux primitives d'une même fonction sont égales à une constante près.

Vrai

En effet, $F - G = c$ avec $c$ une constante donc $F$ et $G$ sont égales à une constante près.

Faux