Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Géométrie dans l’espace

Soit ($O ; \vec{i},\vec{j}, \vec{j}$)  un repère orthonormal de l’espace.

On considère les points $A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1)$,$ I\bigg( \dfrac{3}{5} ; 4 ; -\dfrac{9}{5} \bigg)$

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, en la justifiant, si elle est vraie ou si elle est fausse.

1) Une équation du plan $(ABC)$ est : $2x + 2y − z − 11 = 0$.

2) Le point $E$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.

3) Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.

4) La droite $(CD)$ est donnée par la représentation paramétrique suivante : $(CD) \begin{cases}x=-1+2t \\ y=-1+t \\ z=1-t    \end{cases}$ avec $t$ réel.

5) Le point $I$ est sur la droite $(AB)$.

1) VRAIE : Il suffit en effet de vérifier que les coordonnées de chacun des points vérifient l’équation $2x + 2y – z – 11 = 0$.

 

2) FAUSSE : $E$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(ABC)$. Cela est vrai si la droite $(DE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$ et $ E \in (ABC)$.

  • $ E \in (ABC)$ car ses coordonnées vérifient l’équation de $(ABC)$.
  • $\vec{DE}\begin{pmatrix} 2\\2\\1  \end{pmatrix}$ et $\vec{n} \begin{pmatrix} 2\\2\\-1  \end{pmatrix}$ est normal à $(ABC)$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc $(DE)$ et $(ABC)$ ne sont pas orthogonaux. 

 

3) VRAIE : $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

On a $\vec{AB} \begin{pmatrix} -2\\0\\-4  \end{pmatrix}$ et $\vec{CD}\begin{pmatrix} -2\\-1\\1  \end{pmatrix}$  donc :

$\vec{AB}.\vec{CD}=4+0-4=0$.

 

4) FAUSSE : La droite $(CD)$ est dirigée par le vecteur $\vec{DC} \begin{pmatrix} 2\\1\\-1  \end{pmatrix}$ et passe par $C$ donc elle admet une représentation paramétrique du type $(CD)$ : $\begin{cases}x=3+2t \\ y=-1+t \\ z=-3-t    \end{cases}$ avec $t$ réel.

Pour savoir si $(CD)$ vérifie le système suivant : $\begin{cases}x=-1+2t \\ y=-1+t \\ z=1-t    \end{cases}$   avec $t$ réel, il suffit de savoir si $ \begin{pmatrix} -1\\-1\\1  \end{pmatrix} \in (CD)$   

On résout donc le système.  

$\begin{cases}-1=3+2t \\ -1=-1+t \\ 1=-3-t    \end{cases} \iff \begin{cases} t=-2\\ t=-2\\ t =-4    \end{cases}$ IMPOSSIBLE

Ainsi, $\begin{pmatrix} -1\\-1\\1  \end{pmatrix} \notin (CD)$.

Remarque : on peut vérifier encore plus facilement que les coordonnées du point C ne vérifient pas la représentation paramétrique proposée.

 

5) VRAIE : On peut par exemple se demander si $\vec{IA} \begin{pmatrix} 7/5\\0\\14/5  \end{pmatrix} $ et $\vec{IA} \begin{pmatrix} -3/5\\0\\-6/5  \end{pmatrix}$ sont colinéaires.

On remarque alors que $\vec{IB}=-\dfrac{3}{7} \times \vec{IA}$.