Cours Stage - Systèmes d'équations paramétriques de droite, équations cartésiennes de plan

Exercice - Vecteurs directeurs et équation paramétrique.

L'énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j }, \overrightarrow{k })$.

Soient $A(2, 3, 4)$ et $B(-1, 2, -3)$ deux points de l'espace.

On note  $\mathcal{(D)}$ la droite qui passe par ces deux points. 


Question 1

Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{(D)}$.

Commençons par calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{array} \right)$, en remplaçant par les valeurs on trouve directement $\overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} -3 \\ -1 \\ -7 \end{array} \right)$.

La droite $\mathcal{(D)}$ passant par les points $A$ et $B$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{(D)}$.

Soit $M(x, y, z)$ un point de l'espace,
$\begin{aligned} 
M \in \mathcal{(D)}  & \iff   \text{il existe } t \in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{AM} = t \times \overrightarrow{AB} \\ & \iff \left\lbrace \begin{array}{c} x - 2 & = & -3t \\ y - 3 & = &-t \\ z - 4 & = & -7t \end{array} \right.  \text{avec } t \in \mathbb{R} \\& \iff \left\lbrace \begin{array}{c} x & = & -3t + 2\\ y & = &-t + 3\\ z & = & -7t + 4 \end{array} \right. \text{avec } t \in \mathbb{R} \end{aligned} $

Question 2

On considère la droite $\mathcal{(\Delta)}$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ et passant par le point $C(3, -4 , 1)$.

Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{(\Delta)}$.

Soit $M(x, y, z) $ un point de l'espace,
$\begin{aligned} 
M \in \mathcal{(\Delta)}  & \iff   \text{il existe } t \in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{CM} = t \times \overrightarrow{u} \\ & \iff \left\lbrace \begin{array}{c} x - 3 & = & t \\ y + 4 & = &-t \\ z - 1 & = & t \end{array} \right.  \text{avec } t \in \mathbb{R} \\& \iff \left\lbrace \begin{array}{c} x & = & t + 3\\ y & = & 2t - 4\\ z & = & t + 1 \end{array} \right. \text{avec } t \in \mathbb{R} \end{aligned} $

Question 3

On considère de même la droite $\mathcal{(\Delta')}$ passant par le point $D\left(\frac{1}{2}, 1, -\frac{7}{2}\right)$ et orthogonale au plan $\mathcal{(P)}$ d'équation $-2x + y - 3z + 5 = 0$.

Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{(\Delta')}$.

Comme $\mathcal{(\Delta')}$ est orthogonale au plan $\mathcal{(P)}$, $\mathcal{(\Delta')}$ admet donc comme vecteur directeur un vecteur normal à $\mathcal{(P)}$.
Or par définition et d'après l'équation du plan, un vecteur normal au plan $\mathcal{(P)}$ est $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right)$.

Ainsi,  $\overrightarrow{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{(\Delta')}$.

Déterminons à présent un système d'équations paramétriques de $\mathcal{(\Delta')}$.

Soit $M(x, y, z)$ un point de l'espace,
$\begin{aligned} 
M \in \mathcal{(\Delta')}  & \iff   \text{il existe } t \in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{DM} = t \times \overrightarrow{n} \\ & \iff \left\lbrace \begin{array}{c} x - \frac{1}{2} & = & -2t \\ y - 1 & = & t \\ z + \frac{7}{2} & = & -3t \end{array} \right.  \text{  avec } t \in \mathbb{R} \\& \iff \left\lbrace \begin{array}{c} x & = & -2t + \frac{1}{2}\\ y & = & t + 1\\ z & = & -3t - \frac{7}{2} \end{array} \right. \text{  avec } t \in \mathbb{R} \end{aligned} $

Question 4

Les droites $\mathcal{(\Delta)}$ et $\mathcal{(\Delta')}$ sont-elles sécantes ? Si oui, donner leur point de concours.

Supposons que les deux droites soient concourantes.

Soit alors $M(x, y, z)$ un point de l'espace,

$\begin{aligned} 
M \in \mathcal{(\Delta)} \, \cap \, \mathcal{(\Delta')}  & \iff   \text{il existe } \left(t, t' \right) \in \mathbb{R}^2 \text{ tels que } \left\lbrace \begin{array}{c} x & = & t + 3\\ y & = & 2t - 4\\ z & = & t + 1 \end{array} \right. \text{et } \left\lbrace \begin{array}{c} x & = & -2t' + \frac{1}{2}\\ y & = & t' + 1\\ z & = & -3t' - \frac{7}{2} \end{array} \right.  \\& \iff \text{il existe } \left(t, t' \right) \in \mathbb{R}^2 \text{ tels que } \left\lbrace \begin{array}{c} t + 3 & = & -2t' + \frac{1}{2}\\ 2t - 4 & = & t '+ 1\\ t + 1 & = & -3t' - \frac{7}{2} \end{array} \right.  \\& \iff \text{il existe } \left(t, t' \right) \in \mathbb{R}^2 \text{ tels que } \left\lbrace \begin{array}{c} t & = & -2t' + \frac{1}{2} - 3\\ 2t - 4 & = & t '+ 1\\ t + 1 & = & -3t' - \frac{7}{2} \end{array} \right. \\& \iff \text{il existe } \left(t, t' \right) \in \mathbb{R}^2 \text{ tels que } \left\lbrace \begin{array}{c} t & = & -2t' - \frac{5}{2} \\ 2\left(-2t' - \frac{5}{2}\right) - 4 & = & t '+ 1\\ t + 1 & = & -3t' - \frac{7}{2} \end{array} \right. \\& \iff \text{il existe } \left(t, t' \right) \in \mathbb{R}^2 \text{ tels que } \left\lbrace \begin{array}{c} t & = & -2t' - \frac{5}{2} \\ -4t' - 9 & = & t '+ 1\\ t + 1 & = & -3t' - \frac{7}{2} \end{array} \right. \\& \iff \text{il existe } \left(t, t' \right) \in \mathbb{R}^2 \text{ tels que } \left\lbrace \begin{array}{c} t' & = & -2 \\ t & = & -2(-2) - \frac{5}{2}\\ t + 1 & = & -3t' - \frac{7}{2} \end{array} \right. \\& \iff \text{il existe } \left(t, t' \right) \in \mathbb{R}^2 \text{ tels que } \left\lbrace \begin{array}{c} t' & = & -2 \\ t & = & \frac{3}{2}\\ \frac{5}{2} & = & \frac{5}{2} \end{array} \right.  \end{aligned} $

Ainsi en remplaçant par exemple $t'$ par $-2$ les deux droites sont concourantes, au point $ K(\frac{9}{2};-1;\frac{5}{2})$