Cours Stage - Systèmes d'équations paramétriques de droite, équations cartésiennes de plan
QCM
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  • 5

L'énoncé

Cet exercice est composé de 5 questions indépendantes relatives aux vecteurs dans l'espace. 


Tu as obtenu le score de


Question 1

Les points $A(2, 4, 3), \, B(4, 1, 2)$ et $C(2, 2, 2)$ sont-ils alignés ? 

Oui

Non

Penser à traduire l'alignement avec la colinéarité de deux vecteurs.

En effet, calculons tout d'abord les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{array} \right)$, donc $\overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 4 - 2 \\ 1 - 4 \\ 2 - 3 \end{array} \right)$, et finalement on a $\overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ -1 \end{array} \right)$.

De même on trouve $\overrightarrow{AC} \left( \begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right)$.

Or $\dfrac{x_{\vec{AC}}}{x_{\vec{AB}}} = \dfrac{0}{2} = 0$ et $\dfrac{y_{\vec{AC}}}{y_{\vec{AB}}} = \dfrac{-2}{-3} \neq 0$

$\overrightarrow{AB}$ et $\, \overrightarrow{AC}$ n'étant pas colinéaires, les points $A, B, C$ ne sont donc pas alignés. 

Question 2

Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x - 3y + 2z - 3 = 0$, le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right)$ est-il un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ ?

Oui

Non

Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax +by + cz +d= 0$ est $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a \\ b \\ c \end{array}\right)$

En effet, un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - 3y + 2z - 3 = 0$ est $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$.

Si $\overrightarrow{u}$ est normal à $\mathcal{P}$, alors il est colinéaire à $\overrightarrow{n}$, or on remarque que $\overrightarrow{u} = -2 \times \overrightarrow{n}$, donc $\overrightarrow{u}$ est normal à $\mathcal{P}$.

Question 3

Soient $\overrightarrow{n} \left( \begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right)$ et $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x + 2y + z - 4 = 0$, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est-il normal au plan $\mathcal{P}$ ? 

Oui

Non

Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax +by + cz +d= 0$ est $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a \\ b \\ c \end{array}\right)$

En effet, un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\overrightarrow{u}\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$.

De plus, $\dfrac{x_{\vec{u}}}{x_{\vec{n}}} = \dfrac{2}{-2} = -1$ et $\dfrac{y_{\vec{u}}}{y_{\vec{n}}} = \dfrac{2}{-1} = -1 \neq  2$.

Il n'existe donc pas de réel $k$ tel que $\overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{n}$, les vecteurs ne sont donc pas colinéaires. 

$\overrightarrow{n}$ n'est donc pas normal au plan $\mathcal{P}$.

Question 4

Soient $\overrightarrow{u} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ et $\overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right)$ deux vecteurs, sont-ils colinéaires ? 

Oui

Non

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ non nul tel $\vec{u}=k\vec{v}$

En effet, $\dfrac{x_{\vec{u}}}{x_{\vec{v}}} = \dfrac{4}{2} = 2$ et $\dfrac{y_{\vec{u}}}{y_{\vec{v}}} = \dfrac{2}{3} \neq 2$.

Il n'existe donc pas de réel $k$ tel que $\overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{v}$, les vecteurs ne sont donc pas colinéaires. 

Question 5

Soient $\overrightarrow{u} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$ et $\overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} 0 \\ -9 \\ -\frac{4}{3} \end{array} \right)$ deux vecteurs, sont-ils colinéaires ? 

Oui

Non

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ non nul tel $\vec{u}=k\vec{v}$

En effet, calculons $\overrightarrow{u} . \overrightarrow{n} = 1 \times 0 + 0 \times (-9) + 0 \times -\dfrac{4}{3} = 0$. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont donc orthogonaux, les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.