Cours Linéarité de l'espérance
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Que représente l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète ?

Elle représente la valeur médiane prise par la variable aléatoire.

Elle représente la valeur moyenne prise par la variable aléatoire.

C'est une définition.

Elle représente la somme des valeurs prises par la variable aléatoire.

Question 2

Comment appelle-t-on la propriété suivante : soit $X$ une variable aléatoire discrète et a un réel, $\mathbb{E}(aX) = a\mathbb{E}(X)$

C'est la propriété de multiplicité.

C'est la propriété d'additivité.

C'est la propriété de linéarité.

C'est la propriété de linéarité de l'espérance.

Question 3

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes, la propriété suivante est elle vraie ou fausse ?

$\mathbb{E}(X+Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$

Vraie

C'est une question de cours.

Fausse

Question 4

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes, la propriété suivante est-elle vraie ou fausse ?

$\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X) \times \mathbb{E}(Y)$

Vraie

Fausse

Attention, cela n'est vrai que pour l'addition.

Question 5

Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $3$ et $Y$ une variable aléatoire discrète d'espérance $12.$

Quelle est l'espérance de la variable aléatoire $3X + Y$ ?

21

$\mathbb{E}(3X+Y) = \mathbb{E}(3X) + \mathbb{E}(Y) = 3\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) = 21$

12

42

33

Question 6

On considère un dé non pipé à six faces ainsi que $X$ la variable aléatoire discrète prenant la valeur affichée sur le dé après lancer.

Quelle est l'espérance de $X$ ?

3

$\frac{21}{6}$

$X=x_i$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$P(X=x_i)$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$

$E(X)= \dfrac{1}{6}\left(1+2+3+4+5+6\right)=\dfrac{21}{6}$

L'espérance de $X$ vaut $\dfrac{21}{6}$

4

$\frac{22}{7}$

Question 7

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs -1 et 1 avec des probabilités respectivement égales de 0,5.

Quelle est l'espérance de $X$ ?

0

On dit que $X$ est une variable aléatoire centrée.

2

1

-1

Question 8

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes telles que $\mathbb{E}(X) = 1$ et $\mathbb{E}(X+Y) = 11$

Calculer $\mathbb{E}(Y)$

$\mathbb{E}(Y) = 10$

$\mathbb{E}(X+Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$

On en déduit que $\mathbb{E}(Y) = 10$

$\mathbb{E}(Y) = 11$

$\mathbb{E}(Y) = 12$

$\mathbb{E}(Y) = 9$

Question 9

Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance nulle, que peut-on dire de $X$ ?

Rien de particulier, on dit juste que $X$ est centrée.

C'est une définition.

$X$ est nulle.

$X$ est strictement positive.

$X$ est strictement négative.

Question 10

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs -1 et 1 avec des probabilités respectives 0,25 et 0,75.

Calculer $\mathbb{E}(X)$.

$\mathbb{E}(X)=0,75$

$\mathbb{E}(X)= 0,25$

$\mathbb{E}(X)=1$

$\mathbb{E}(X)= 0,5$

$\mathbb{E}(X) = (-1)\times 0,25+ 1\times 0,75=0,5$