Fiche de cours
Linéarité de l'espérance
Propriétés :
Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_i$, de probabilités $p_i$ et Y, les valeurs $y_i$, de probabilités $q_i$ pour $i$ variant de $1$ à $n$,
Soit $a \in \mathbb{R}$,
On a :
$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$
$\mathbb{E}(aX) = a\mathbb{E}(X)$
On dit que l'espérance est linéaire.
Démonstration :
Soit $a \in \mathbb{R}$,
Par définition de l'espérance mathématique,
$\mathbb{E}(X) = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_ix_i$.
Donc
$\mathbb{E}(aX) = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i(ax_i)$
$\mathbb{E}(aX)= a \displaystyle \sum_{i=1}^n p_ix_i $
$\mathbb{E}(aX)= a \mathbb{E}(X)$.
Exemple :
On place au hasard deux billes jaune et rouge dans deux boites $A$ et $B$.
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de billes dans la boite $A$ et $Y$ le nombre de boites vides.
On représente les quatre situations possibles.