Linéarité de l'espérance.

Linéarité de l'espérance

Propriétés :

Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_i$, de probabilités $p_i$ et Y, les valeurs $y_i$, de probabilités $q_i$ pour $i$ variant de $1$ à $n$,

Soit $a \in \mathbb{R}$,

On a :

$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$

$\mathbb{E}(aX) = a\mathbb{E}(X)$

On dit que l'espérance est linéaire. 

Démonstration :

Soit $a \in \mathbb{R}$,

Par définition de l'espérance mathématique,

$\mathbb{E}(X)  = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_ix_i$.

Donc

$\mathbb{E}(aX)  = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i(ax_i)$

$\mathbb{E}(aX)= a \displaystyle \sum_{i=1}^n p_ix_i $

$\mathbb{E}(aX)= a \mathbb{E}(X)$.

Exemple :

On place au hasard deux billes jaune et rouge dans deux boites $A$ et $B$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de billes dans la boite $A$ et $Y$ le nombre de boites vides.

On représente les quatre situations possibles.