Cours Stage - Variance

Exercice - Variance d'une variable aléatoire

L'énoncé

On lance 10 dés équilibrés.

$X$ est la variable aléatoire qui correspond au nombre de 6 obtenus.


Question 1

Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ?

$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{1}{6}$

Question 2

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 4 fois le chiffre 6 ?

Pour une loi binomiale de paramètre (n,p) :

$P(X=k)=\binom{k}{n}p^k(1-p)^{n-k}$

Donc ici, $P(X=4)=\binom{4}{10}(\dfrac{1}{6})^4(\dfrac{5}{6})^{6}=5,4.10^{-2}$

Il suffit d'appliquer la formule d'une loi binomiale.

Question 3

Que vaut $E(X)$ ?

Dans le cadre d'une loi binomiale de paramètre (n,p), on a :

$E(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n k\binom{k}{n}p^k(1-p)^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$

$E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^n n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}p^k(1-p)^{n-k}=n\displaystyle\sum_{k=1}^n \binom{k-1}{n-1}p^k(1-p)^{n-k}$

$E(X)=np\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \binom{k}{n-1}p^{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}=np(p+1-p)^{n-1}$

$E(X)=np$

C'est une résultat du cours qu'il convient de connaître.

Donc $E(X)=10\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$

Faire apparaître un binôme de Newton ou utiliser la formule du cours.

Question 4

On considère maintenant la variable aléatoire $Y$ qui vaut 1 si au moins 5 dés possèdent la même valeur, 0 sinon.

Quelle loi de probabilité suit $Y$ ?

$Y$ suit une loi de Bernoulli (échec ou succès) de paramètre $p$ que l'on va déterminer :

Pour obtenir 5 fois le même chiffre sur les 5 premiers dés, le premier peut prendre 6 valeurs, les 4 suivants ne peuvent prendre qu'une valeur (celle du premier dés) et les 5 derniers dés peuvent tous prendre 6 valeurs, peu importe.

Ainsi, dans le cas ou c'est les 5 premiers dés qui sont de même valeur, il y a $5\times 1\times 1\times 1\times 1\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5$ cas possibles.

Cependant, nous avons seulement considéré le cas ou c'est les 5 premiers qui ont la même valeur. Pour avoir tous les cas de figures, il faut ajouter tous les cas de figure ou ce n'est pas forcément les 5 premiers qui sont de même valeur. Il y a donc $\binom{10}{5}$ compositions possible.

Ainsi, le nombre de cas ou $Y=1$ correspond à $\binom{10}{5}\times 5\times 1\times 1\times 1\times 1\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5=\binom{10}{5}\times 5^6$

Le nombre de configuration totale est $6^{10}$.

Ainsi, $P(Y=1)=\frac{\binom{10}{5}\times 5^6}{6^{10}}=6,5.10^{-2}$

C'est une question de dénombrement: comptez le nombre de cas favorables sur le nombre de cas total !

Question 5

Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

Pour une loi de Bernoulli, l'espérance vaut $p$ et la variance $p(1-p)$ :

$E(Y)=0,065$

$V(Y)=0,06$