Cours Stage - suites géométriques

Exercice - Comportement asymptotique d'une suite géométrique

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes


Question 1

On considère un abonnement de musique qui chaque année gagne 700 nouveaux adhérents mais dont 5% des abonnements ne sont pas renouvelés.

En 2020, il y avait 5000 abonnés.

On pose $(u_n)$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ années.

Calculer $u_0$ et $u_0$. 

$u_0$ est le nombre d'abonnés initial, c'est à dire $u_0 = 5000$

$u_1$ correspond au nombre d'abonnés en 2021, après avoir perdu 5% d'abonnés mais gagné 700 nouvelles personnes.

Ainsi, $u_1 = 0,95 \times 5000 + 700 = 5450$.

$u_1$ correspond au nombre d'abonnés en 2021, après avoir perdu 5% d'abonnés mais gagné 700 nouvelles personnes.

Question 2

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

D'après l'énoncé, on trouve que $u_{n+1} = 0,95u_n + 700$, puisque l'on perd 5% des abonnés de l'année précédente et que l'on en gagne 700 nouveaux.

On utilisera la question précédente.

Question 3

Pour tout $n$, on pose $v_n = u_n - 14 000$.

Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Soit $n \in \mathbb{N}$,

$v_{n+1} = u_{n+1} - 14 000 = 0,95 u_n + 700 - 14 000 = 0,95u_n - 13 300 = 0,95(u_n - 14000) = 0,95v_n$.

$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $0,95$ et de premier terme

$v_0 = u_0 - 14000 = -9000$

On calculera $v_{n+1}$ puis on fera apparaitre l'expression de $v_n$.

Question 4

En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$.

On sait que $(v_n)$ est une suite géométrique.

Ainsi, $v_n = -9000\times0,95^n$.

Or $v_n = u_n - 14000$.

Donc, $u_n = v_n + 14000 = -9000\times0,95^n + 14000$.

 

On utilisera la question précédente.

Question 5

Montrer que $(u_n)$ est croissante.

Soit $n \in \mathbb{N}$,

$u_{n+1}-u_n = -9000\times0,95^{n+1} + 14000 + 9000\times0,95^n - 14000 = 9000\times 0,95^n (- 0,95 + 1 ) = 0,05 \times 9000\times 0,95^n \geq 0$.

Ainsi, $(u_n)$ est croissante. 

On calculera $u_{n+1} - u_n$.

Question 6

Déterminer à l'aide de la calculatrice l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnées est supérieur à 10 000. 

D'après la calculatrice, $u_{16}= 10039$ et $u_{15} = 9830$.

Ainsi, au bout de 16 ans le nombre d'abonnés dépasse 10000.

On procédera par tâtonnement à l'aide de la calculatrice.

Question 7

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n \leq 14000$.

Soit $n \in \mathbb{N}$, On note $P_n = "u_n \leq 14000"$.

Initialisation :

On sait que $u_0 = 5000 \leq 14000$.

La propriété est donc vraie au rang 0.

Hérédité :

Soit $n \in \mathbb{N}$,

Supposons que $u_n \leq 14000$ et montrons que $u_{n+1} \leq 14000$.

$u_{n+1} = 0,95 u_n + 700 \leq 0,95 \times 14000 + 700$ d'après l'hypothèse de récurrence.

Ainsi $u_{n+1} \leq 13300 + 700 = 14000$

Ainsi, $P_{n+1}$ est vraie.

D'après le principe de récurrence on vient de montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n \leq 14000$.

On pourra revoir le début de la vidéo pour s'inspirer de la rédaction

Question 8

En déduire que $(u_n)$ converge lorsque $n$ tend vers l'infini puis déterminer sa limite.

On a montré que $(u_n)$ était majorée par $14000$ et qu'elle était croissante, d'après le théorème de la limite monotone la suite $(u_n)$ converge.

En outre, pour tout $n \in \mathbb{N}$ $u_n = -9000\times0,95^n + 14000$.

Or $-1 < 0,95 < 1$ donc $\lim \limits_{n \to + \infty} 0,95^n = 0$ d'après le cours.

Ainsi, $\lim \limits_{n \to + \infty}-9000\times0,95^n = -9000 \times 0 = 0$.

Finalement $\lim \limits_{n \to + \infty}-9000\times0,95^n + 14000 = 0 + 14000 = 14000$.

Ainsi, après un certain nombre d'années, le nombre d'abonnés est de 14000.

On utilisera les questions précédentes pour la première partie de la question 


On utilisera le cours pour déterminer la limite de la suite.