Cours Stage - vecteurs et bases de l'espace
QCM
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L'énoncé

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Question 1

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ constituent une base de l'espace si et seulement si 

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont non nuls

il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.

En effet, cela signifie en outre que lorsque $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors $\alpha = \beta = \gamma = 0$.

il existe au moins une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.

Question 2

Que signifie : il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$?

Si $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors $\alpha \neq 0$

Si $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors au plus un coefficient multiplicateur est nul.

Si $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors $\alpha = \beta = \gamma = 0$.

C'est en effet la bonne propriété.

Question 3

Un repère et une base de l'espace sont deux notions différentes.

Vrai

Faux

En effet, cela désigne la même chose

Question 4

Si $\alpha = \beta = \gamma = 0$ lorsque $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$, alors 

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.

En effet, cela signifie qu'ils n'appartiennent pas au même plan.

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires.

Question 5

Que permet un repère ou une base de l'espace ? 

On se le demande encore

A calculer des coordonnées

En effet, les coordonnées permettent de repérer les points de l'espace, facilitant la résolution de certaines problèmes. 

A pouvoir se poser 

Question 6

Comment démontrer que trois vecteurs forment une base de l'espace ? 

On montre qu'ils ne sont pas colinéaires.

On les dessine sur le brouillon.

On montre qu'il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.

On applique en effet la définition.

Question 7

On suppose que $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ et on montre que $\alpha = - \beta = 1$, que peut on conclure sur $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ?

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne forment pas une base de l'espace.

En effet, si la condition de nullité des coefficients n'est pas remplie alors les vecteurs ne forment pas une base de l'espace.

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment un repère de l'espace.

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment une base de l'espace.

Question 8

Deux vecteurs peuvent-ils former une base de l'espace ? 

Oui

Non

En effet, deux vecteurs, si ils ne sont pas colinéaires, forment un plan, mais ne permettent donc pas de représenter l'espace.

Question 9

Trois vecteurs non colinéaires forment une base de l'espace.

Oui

Non

En effet, ils peuvent être coplanaires.

Question 10

Si il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ alors 

on ne peut rien dire.

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment un repère de l'espace.

C'est la définition.

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment un repère du plan.