Cours Stage - vecteurs et bases de l'espace

Exercice - Repère ou base de l'espace

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes 


Question 1

Soient $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right )$, $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{w} \left ( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right )$ trois vecteurs de l'espace.
Ce triplet forme-t-il une base de l'espace ? 

On veut montrer qu'il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
Soient $\alpha, \beta$ et $\gamma$ trois réels,
$\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} 2\alpha + \beta +3\gamma &=& 0 \\ -3\alpha -\gamma &=& 0 \\ \alpha + 2\beta &=& 0 \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} 2\alpha + \beta +3\gamma &=& 0 \\ \gamma &=& -3\alpha \\ \alpha  &=& - 2\beta \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} 2\alpha + \beta +3\gamma &=& 0 \\ \gamma &=& 6\beta \\ \alpha  &=& - 2\beta \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} -4\beta + \beta +18\beta &=& 0 \\ \gamma &=& 6\beta \\ \alpha  &=& - 2\beta \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} 15\beta &=& 0 \\ \gamma &=& 6\beta \\ \alpha  &=& - 2\beta \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} \beta &=& 0 \\ \gamma &=& 0 \\ \alpha  &=& 0\end{array} \right.$
Ce triplet forme donc une base de l'espace.

On montrera qu'il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.

Question 2

Décomposer le vecteur $\overrightarrow{OA} \left ( \begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right )$ dans la base ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$).

On cherche trois réels $a, b$ et $c$ tels que $\overrightarrow{OA} = a \overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w}$
Soient $a, b$ et $c$ trois réels,
$\overrightarrow{OA} = a \overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w}$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} 2a + b +3c &=& 5 \\ -3a -c &=& -2 \\ a + 2b &=& 4 \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} -7a + b &=& -1 \\ -3a -c &=& -2 \\ a + 2b &=& 4 \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} 15b &=& 27 \\ -3a -c &=& -2 \\ a + 2b &=& 4 \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} b &=& \dfrac{9}{5} \\ -3a -c &=& -2 \\ a  &=& \dfrac{4}{5}\end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} b &=& \dfrac{9}{5} \\ c &=& -\dfrac{2}{5} \\ a  &=& \dfrac{4}{5}\end{array} \right.$

On cherchera trois réels $a, b$ et $c$ tels que $\overrightarrow{OA} = a \overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w}$

Question 3

Soient $x, y, z$ trois réels,
Soient $\overrightarrow{r} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )$, $\overrightarrow{s} \left ( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{t} \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right )$,
Quelle condition doit on imposer sur $(x, y, z)$ pour que ($\overrightarrow{r}, \overrightarrow{s}, \overrightarrow{t}$) forme une base ? 

Soient $\alpha, \beta$ et $\gamma$ trois réels,
$\alpha\overrightarrow{r}+\beta \overrightarrow{s} +\gamma \overrightarrow{t} = \overrightarrow{0}$ 
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc} \alpha + 3\beta +x\gamma &=& 0 \\ \alpha +y\gamma &=& 0 \\ \beta + z \gamma &=& 0 \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc}  3\beta +(x - y)\gamma &=& 0 \\ \alpha +y\gamma &=& 0 \\ \beta + z \gamma &=& 0 \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcc}  (x - y - 3z)\gamma &=& 0 \\ \alpha +y\gamma &=& 0 \\ \beta + z \gamma &=& 0 \end{array} \right.$
On doit donc résoudre l'équation $(x - y - 3z)\gamma = 0$ c'est à dire soit $\gamma = 0$ ce qui permet alors de conclure que $\alpha = \beta = \gamma = 0$ soit $x - y - 3z = 0$. Dans ce dernier cas, il n'existe pas de contrainte sur $\gamma$ : les trois vecteurs ne forment donc pas une base puis les coefficients $\alpha, \beta$ et $\gamma$ ne sont pas nuls.
Il faut donc imposer que $x - y - 3z \neq 0$.

On considère trois réels $\alpha, \beta$ et $\gamma$ et on résout le système $\alpha\overrightarrow{r}+\beta \overrightarrow{s} +\gamma \overrightarrow{t} = \overrightarrow{0}$ 

Question 4

Soit $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right )$,
Montrer que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal aux vecteurs $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{s}$.

On commence par montrer que le produit scalaire de $\overrightarrow{n}$ et de $\overrightarrow{r}$ est nul. 
$\overrightarrow{n} . \overrightarrow{r} = 1 \times 1 - 1 \times 1 = 0$
On calcule ensuite le produit scalaire de $\overrightarrow{n}$ et de $\overrightarrow{s}$. 
$\overrightarrow{n} . \overrightarrow{s} = 1 \times 3 - 3 \times 1 = 0$

On commence par montrer que le produit scalaire de $\overrightarrow{n}$ et de $\overrightarrow{r}$ est nul. 


Le produit scalaire en trois dimensions suit la même formule qu'en deux dimensions.

Question 5

On peut montrer à l'aide de la question précédente que l'équation du plan formé par $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{s}$ est $ x - y -3z = 0$.
Que remarque-t-on et comment l'expliquer ? 

On a montré à la question 4 que pour que les trois vecteurs forment une base, on doit avoir $ x - y -3z \neq 0$, ce qui ressemble à l'équation du plan formé par $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{s}$. 
En effet, pour que les trois vecteurs forment une base, ils ne doivent pas être coplanaires, autrement dit, le vecteur $\overrightarrow{t}$ ne doit pas être parallèle au plan formé par $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{s}$. 

On regardera la question 3.