Cours Dérivées, limites

Exponentielle - Croissances comparées

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Fiche de cours

 

Croissances comparées

Pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ :


1. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ ;             $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty$

2. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} xe^x =0$ ;                $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} x^ne^x =0$

 

A savoir aussi :

3. $ \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac {e^x-1}{x}=1$

 

Exercice 1

Calculer : $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3 -e^x$.

 

Corrigé 

  • étape 1 : On s'interroge sur la présence de formes indéterminées.
    Il y en a une de la forme $\infty-\infty$.
  • étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.
    $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} e^x(\frac{x^3}{e^x}-1)$
  • étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.

    On sait que $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty$.

    Donc $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3}{e^x}
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