Cours Dérivées, limites

Exercice - Étude d'une fonction exponentielle

L'énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0;+\infty[\) par \(f(x) = (x-1)(2-e^{-x})\)


Question 1

Etudier la limite de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).

Au voisinage de \(+\infty\), \(x-1\) tend vers \(+\infty\) et \(2-e^{-x}\) tend vers 2 car \(e^{-x}\) tend vers \(0\) ; \(f\) a pour limite \(+\infty\).

Il n'y a pas de forme indéterminée.


\(e^{-x}\) tend vers zéro au voisinage de \(+\infty\).

Question 2

Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x) = xe^{-x}+2(1-e^{-x})\)

Pour tout \(x\in [0;+\infty[\) , 

\(f'(x) = 2-e^{-x}+(x-1)e^{-x}\)

\(f'(x) = 2-2e^{-x}+xe^{-x}\)

d'où \(f'(x) = xe^{-x}+2(1-e^{-x})\)

Rappelez- vous : \((uv)’ = u’v + uv’\)

Question 3

En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f'(x) > 0\).

Comme \(x\) est positif, \(xe^{-x} > 0\) et \(x > 0 \Rightarrow -x < 0 \Rightarrow e^{-x} < e^0 = 1\)

\( \Rightarrow e^{-x} - 1 < 0 \Rightarrow 1 - e^{-x} > 0 \) donc \(f\) est positive.

\(x\) est positif donc le signe de \(f'(x)\) ne devrait pas vous poser de problème.

Question 4

Préciser la valeur de \(f'(0)\), puis établir le tableau de variations de \(f\).

\(f'(0) = 0+2(1-1)=0\).

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Connaissant le signe de \(f’\), les variations de \(f\) sont évidentes.
Faites un tableau de variations.

Question 5

Tracer la courbe \(C\) dans un repère.

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