L'énoncé
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0;+\infty[\) par \(f(x) = (x-1)(2-e^{-x})\)
Question 1
Etudier la limite de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
Au voisinage de \(+\infty\), \(x-1\) tend vers \(+\infty\) et \(2-e^{-x}\) tend vers 2 car \(e^{-x}\) tend vers \(0\) ; \(f\) a pour limite \(+\infty\).
Il n'y a pas de forme indéterminée.
\(e^{-x}\) tend vers zéro au voisinage de \(+\infty\).
Question 2
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x) = xe^{-x}+2(1-e^{-x})\)
Pour tout \(x\in [0;+\infty[\) ,
\(f'(x) = 2-e^{-x}+(x-1)e^{-x}\)
\(f'(x) = 2-2e^{-x}+xe^{-x}\)
d'où \(f'(x) = xe^{-x}+2(1-e^{-x})\)
Rappelez- vous : \((uv)’ = u’v + uv’\)
Question 3
En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f'(x) > 0\).
Comme \(x\) est positif, \(xe^{-x} > 0\) et \(x > 0 \Rightarrow -x < 0 \Rightarrow e^{-x} < e^0 = 1\)
\( \Rightarrow e^{-x} - 1 < 0 \Rightarrow 1 - e^{-x} > 0 \) donc \(f\) est positive.
\(x\) est positif donc le signe de \(f'(x)\) ne devrait pas vous poser de problème.
Question 4
Préciser la valeur de \(f'(0)\), puis établir le tableau de variations de \(f\).
\(f'(0) = 0+2(1-1)=0\).
Connaissant le signe de \(f’\), les variations de \(f\) sont évidentes.
Faites un tableau de variations.
Question 5
Tracer la courbe \(C\) dans un repère.
