Cours Stage - Fonctions exponentielles, variations

Exercice – Fonctions exponentielles, variations

L'énoncé

Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x+2)(1+e^{-x})$   et   $g(x) = e^x+3x-2$.

$Cf$ est la courbe représentative de $f$. $Cg$ est la courbe représentative de $g$.


Question 1

Quel est le signe de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

$(3x+2)$ est négatif sur $\left]-\infty;\dfrac{-2}{3}\right[$ et positif sur $\left]\dfrac{-2}{3} ; +\infty\right[$.

$(1+e^{-x})>0$ car une exponentielle est toujours positive.

Par produit, $f$ est donc 

  • négative sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{-2}{3}\right[$,
  • Positive sur l’intervalle $\left]\dfrac{-2}{3} ; +\infty\right[$

Il faut étudier le signe de chaque partie de $f$. On peut s'aider d'un tableau de signes mais il n'est pas demandé ici. 

Question 2

Calculer la dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est du type $u\times v$ avec $u = 3x+2$ et $v = 1+e^{-x}$.

Donc, la dérivée de $f$, $f’$, est du type $(uv)’ = u’v+uv’$.

Avec $u’(x) = 3$ et $v’(x) = -e^{-x}$.

$f’(x) = 3\times (1+e^{-x}) + (3x+2)\times (-e^{-x})$.

$f’(x) = 3 – 3e^{-x} -3xe^{-x}-2e^{-x}$.

$f’(x) = -3xe^{-x}-5e^{-x}+3$.

$f’(x) = (-3x-5)e^{-x} +3$.

Il faut utiliser la dérivée d'un produit de fonctions. 

Question 3

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $Cf$ au point d'abscisse $0$ .

 $T_f(0) :y = f’(0)(x-0) + f(0)$

$ T_f(0):y = ((-3\times 0 – 5)\times e^0+3)(x-0) + (3\times 0+2)(1-e^0)$.

$T_f(0):y = -2x$.

Il faut se rappeler de l'équation de la tangente en un point a qui est : $T_a :y= f'(a)(x-a)+f(a)$. 

Question 4

Calculer la dérivée de $g$sur $\mathbb{R}$.

$g’(x) = e^x +3$.

Question 5

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $Cg$ au point d'abscisse $0$ .

$T_g(0):y = g’(0)(x-0)+g(0)$.

$T_g(0):y = (e^0 + 3)x + e^0+3\times 0-2$.

$T_g(0):y = 4x-1$.

Il faut se rappeler de l'équation de la tangente en un point a qui est : $T_a :y= f'(a)(x-a)+f(a)$.