Cours Stage - Convexité de fonctions

Exercice - Sens de variation et convexité

L'énoncé

Soit \(g\) la fonction définie sur \([1 ; 10]\) par \(g(x)= \dfrac{5}{(x+1)}\).


Question 1

Calculer la dérivée de \(g\).

\(g'(x) = - \dfrac{5}{(x+1)^2}\)

Savez-vous dériver \(g\) ? Sinon regardez la vidéo.

Question 2

Quel est le sens de variation de \(g\) sur \([1 ; 10]\) ?

Pour tout \(x\) dans \([1 ; 10]\), \(g'\) est négative donc \(g\) est décroissante.

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Quel est le signe de \(g’\) ? Ainsi \(g\) est…

Question 3

Quel est le sens de variation de \(g'\) ?

\(g''(x)= \dfrac{10(x+1)}{(x+1)^4} = \dfrac{10}{(x+1)^3}\)

\(x\) appartient à \([1 ; 10]\) donc \(g''(x)\) est positive pour tout \(x\) de \([1 ; 10]\).
Ainsi \(g'\) est croissante.

Avez-vous pensé à dériver \(g’\) ? Le signe de \(g’’\) donnera le sens de variation de \(g’\).

Question 4

La fonction \(g\) est-elle convexe ? Concave ?

« Une fonction \(g\) est convexe sur un intervalle \(I\) si et seulement si sa dérivée est croissante sur \(I\). »
La fonction \(g'\) étant croissante, elle est convexe sur \([1 ; 10]\).

Connaissez-vous le théorème majeur sur les fonctions convexes ?


« Une fonction \(g\) est convexe sur un intervalle \(I\) si et seulement si sa dérivée est … sur \(I\). »