Cours Stage - Limites, formes indéterminées, théorème des gendarmes

Exercice - Le théorème des gendarmes

L'énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R^*}\) par : \( f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2}\)


Question 1

Démontrer que pour tout \(x\) non nul : \(\dfrac{-1}{x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{x^2}\)

Pour tout \(x\) appartenant à \(\mathbb{R^*}\), \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\)

En divisant par $x^2$, un nombre strictement positif, on a donc:

 \(\dfrac{-1}{x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{x^2}\)

Avez-vous pensé à encadrer \(\sin(x)\) ?


\(-1 \leq \sin(x) \leq 1\)

Question 2

En déduire les limites de \(f\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty.\)

\( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-1}{x^2} = 0\) et \( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0\)

D'après le théorème des gendarmes, \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\)



\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-1}{x^2} = 0\) et \( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0\)

D'après le théorème des gendarmes, \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

La question débute par « en déduire » ! Il faut donc utiliser l’encadrement précédent.


Vers quoi tendent les expressions \( \dfrac{-1}{x^2}\) et \( \dfrac{1}{x^2}\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty.\) ?


Pour conclure, pensez au théorème des gendarmes


Besoin d’un rappel sur le théorème des gendarmes ? Allez voir la vidéos dans les prérequis.