Cours Stage - limites de suites

Exercice - Opération sur les limites

L'énoncé

- Répondre aux questions suivantes


Question 1

Montrer que $n^2 - n \geq (n - 1)^2$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
$n^2 - n \geq (n - 1)^2$
$\iff n^2 - n \geq n^2 - 2n + 1$
$\iff n ^2 - n -n^2 + 2n \geq 1$
$\iff n \geq 1$
On vient donc de montrer que $n^2 - n \geq (n - 1)^2$ pour $n \geq 1$.

On pourra raisonner par équivalence...


... et donc partir de $n^2 - n \geq (n - 1)^2$

Question 2

En déduire la limite de $\lim \limits_{n \to + \infty} \sqrt{n^2 - n}$. 

Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
on sait que $n^2 - n \geq (n - 1)^2$.
En appliquant la fonction racine carrée qui est croissante on obtient $\sqrt{n^2 - n} \geq \sqrt{(n-1)^2} = n - 1$
Or $\lim \limits_{n \to + \infty} n - 1 = + \infty $ par somme de limites.
D'après le théorème de comparaison, $\lim \limits_{n \to + \infty}\sqrt{n^2 - n} = + \infty$

On utilisera la question précédente...


... puis un des théorèmes du cours.

Question 3

Soit $n  \in \mathbb{N}$,
On définit la suite $(u_n)$ par $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
A l'aide d'une calculatrice, conjecturer $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n$.

D'après la calculatrice, $u_{100} = \sqrt{101} - \sqrt{100} \approx 4,98 \times 10^{-2}$ et $u_{100000} = \sqrt{100001} - \sqrt{100000} \approx 1,58 \times 10^{-3}$.
Ainsi, il semble que $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = 0$

On pourra calculer $u_{100}$, $u_{100000}$,..

Question 4

Montrer que $u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \times \dfrac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}= \dfrac{(n+1) - (n)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.

On pourra multiplier $u_n$ par $\dfrac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 1$.

Question 5

Montrer que $0 \leq u_n \leq \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ pour tout entier $n$ non nul.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
On sait que $\sqrt{n+1} \geq \sqrt{n}$.
Ainsi, $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \geq 2\sqrt{n}$.
Par passage à l'inverse, $u_n \leq \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$.
Enfin, $u_n$ est positif par quotient de nombres positifs. 

On utilisera la question précédente.

Question 6

En déduire $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n$

Tout d'abord, $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$.
Ainsi, $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2\sqrt{n}} = 0$ par produit de limites.
Or, on sait que $0 \leq u_n \leq \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ pour tout entier $n$ non nul.
D'après le théorème des gendarmes, $\lim \limits_{n \to +\infty}u_n= 0$.

On pourra utiliser un des théorèmes du cours.