Cours Équations diophantiennes

Équations diophantiennes

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Fiche de cours

Equation Diophantienne

 

Définition

Une équation diophantienne est une équation algébrique de la forme $ax+by=c$ (E) avec $a$, $b$ et $c$ entiers ($a$ et $b$ non nuls).

On cherche des couples $(x;y)$ d'entiers solutions.


Existence de solutions

(E) admet des solutions $\iff$ $PGCD(a,b)$ divise $c$

Dans l'équation suivante : (E) $4x-2y=1$, on a :

$PGCD(4;2)=2$ 

Or, 2 ne divise pas 1 donc l'équation n'a pas de solutions.

 

Exemple

Résoudre $41x-27y=1$   (E) dans $\mathbb{Z}^2$.

 

étape 1 : On cherche le $PGCD$ des nombres du membre de gauche. On effectue l'algorithme d'Euclide.

$41=27 \times 1 + 14 $

$27= 14 \times 1 + 13$

$14= 13 \times 1 + 1$ 

Ainsi : $PGCD (41 ; 27)=1$.

41 et 27 sont premiers entre eux.

 

étape 2 : On vérifie que le $PGCD (41 ; 27)$ divise le membre de droite, soit 1.

L'équation (E) admet donc des solutions.

 

étape 3 : On cherche une solution particulière.

$41=27 \times 1 + 14 $

$27= 14 \times 1 + 13$

$14= 13 \times 1 + 1$

On multiplie les deux membres de la première égalité par 2 et on remonte l'algori

Il reste 70% de cette fiche de cours à lire
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.