Cours Stage - Théorème de Bezout, Gauss

Théorèmes de Bezout - Gauss

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Fiche de cours

Théorèmes de Bezout et Gauss


Définition

Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut $1$.

 

Théorème de Bezout

Soient $a$ et $b$, deux entiers naturels non nuls.

Si on note $d=PGCD(a;b)$, alors il existe 2 entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :

$au+bv=d$

$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si :

$au+bv=1$.



Exemple

Montrer que (2n + 1) et (3n + 2) sont premiers entre eux $\forall n \in \mathbb{N}$.

 

Il s'agit de trouver des coefficients $u$ et $v$ pour que

$u(2n + 1) + v(3n + 2) = 1$.

On choisit astucieusement $u$ et $v$ pour faire disparaître les termes en $n$.

$-3(2n + 1) + 2(3n + 2) = -6n - 3 + 6n + 4 = 1$

$\forall n \in \mathbb{N}$, il existe $u = -3$ et $v = 2$ tel que

$u(2n + 1) + v(3n + 2) = 1$.

Les entiers $(2n + 1)$ et $(3n + 2)$ sont donc premiers entre eux.

 

Théorème de Gauss

Soient $a$, $b$ et $c$, trois entiers relatifs non nuls.

Si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.

 

Exemple 

Trouver (s'ils existent) les couples $(x;y)$ d'entiers solutions de l'équation : $5(x - 1) = 7y$.

5 divise $7y$, or $PGCD(5;7) = 1$, donc d'après le

Il reste 70% de cette fiche de cours à lire
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.