Cours Stage - Théorème de Bezout, Gauss
QCM
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L'énoncé

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Question 1

$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs non nuls. Si on note $d$ leur PGCD, alors il existe deux nombres entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :

$au+bv=1$

$au+bv=d$

C'est l'égalité de Bezout

$ad+bd=uv$

Question 2

Deux nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux lorsque

leur PGCD vaut le plus petit des deux entiers

leur PGCD vaut $1$

C'est une définition

leur PGCD vaut le produit des deux entiers

Question 3

Si $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux, alors il existe deux nombres entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :

$au+bv=ab$

$au+bv=uv$

$au+bv=1$

C'est le théorème de Bezout

Question 4

On considère les entiers $13$ et $59$. Il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que 

$13u\times 59v=1$

$13u+59v=1$

$13$ et $59$ sont premiers entre eux donc on applique le théorème de Bezout.

$13u\times 59v=uv$

Question 5

On considère les entiers $55$ et $60$. Il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que 

$55u+60v=1$

$55u+60v=55$

$55u+60v=60$

$55u+60v=5$

En effet, $PGCD(55;60)=5$ donc on applique l'égalité de Bezout

Question 6

Si on peut écrire $au+bv=1$ avec $u$ et $v$ entiers relatifs et $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls, alors 

$a$ et $b$ sont des nombres premiers

$a$ et $b$ sont divisibles par $u$ et $v$

$a$ et $b$ sont premiers entre eux

C'est le théorème de Bezout (réciproque vraie)

Question 7

Soit $a,b$ et $c$ trois entiers relatifs. Si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors

$a$ divise $c$

C'est le théorème de Gauss

$c$ divise $a$

$c$ divise $ab$

Question 8

$a$ et $b$ sont deux entiers premiers entre eux. $a$ divise $5b$ donc

$a$ divise $5$

C'est l'application du théorème de Gauss avec $c=5$

$5$ divise $a$

$ab$ divise $5$

Question 9

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ : $5x=7y$

$S=\{(7k;5k)\}, k \in \mathbb{Z}$

$5$ et $7$ sont premiers entre eux donc comme $7$ divise $5x$ alors $7$ divise $x$

On en déduit que $x=7k, k \in \mathbb{Z}$

Pour les mêmes raisons, $5$ divise $7y$ donc $y=5k, k \in \mathbb{Z}$

$S=\{(35k;35k)\}, k \in \mathbb{Z}$

$S=\{(5k;7k)\}, k \in \mathbb{Z}$

Question 10

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ : $11x=8y$

$S=\{(11k;8k)\}, k \in \mathbb{Z}$

$S=\{(88k;88k)\}, k \in \mathbb{Z}$

$S=\{(8k;11k)\}, k \in \mathbb{Z}$

$11$ et $8$ sont premiers entre eux donc comme $8$ divise $11x$ alors $8$ divise $x$

On en déduit que $x=8k, k \in \mathbb{Z}$

Pour les mêmes raisons, $11$ divise $8y$ donc $y=11k, k \in \mathbb{Z}$