Cours Stage - Matrices et systèmes linéaires

Exercice - Système d’équations

L'énoncé

Soit \(S\) le système suivant d’inconnues réelles \(x, y\) et \(z\) :  \(S\)  \(\left\{ \begin{array}{11} -2y - z = 1 \\ x + 3y + z = 0 \\ -x - 2y = 3 \end{array} \right. \)


Question 1

Ecrire le système sous forme matricielle.

\(\begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Savez-vous représenter un système par une équation de matrices ? Sinon, revoyez le rappel vidéo.

Question 2

Démontrer que pour \(A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\), on a :  \(A^2 - 2A = -I\).

\(A^2 - 2A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\)

\(A^2 - 2A = \begin{pmatrix} -1 & -4 & -2 \\ 2 & 5 & 2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -4 & -2 \\ 2 & 6 & 2 \\ -2 & -4 & 0 \end{pmatrix}\)

\(A^2 - 2A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Ainsi : \(A^2 - 2A = -I\).

Qu’est-ce que \(I\)?


C'est la matrice identité !


Savez-vous calculer un produit de matrice ? Revoyez la vidéo de rappel si besoin.

Question 3

En déduire que \(A\) est inversible et déterminer \(A^{-1}\).

\(A^2 - 2A = -I \Longleftrightarrow A(A - 2I) = -I \Longleftrightarrow A(2I-A) = I\)

\(A^2 - 2A = -I \Longleftrightarrow \text{ A est inversible et } A^{-1} = 2I - A\)

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\)

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\)

Quelle est la condition pour qu’une matrice soit inversible ?


\(A A^{-1} = I\) ! Il ne reste plus qu’à calculer…


Avec la question précédente, on peut définir \(A\) en fonction de \(I\).


\(A^{-1} = 2 -A = ?\)

Question 4

Résoudre le système \(S\).

\(X = A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)

\(\Leftrightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)


\(X = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Grâce à l’écriture matricielle, savez-vous résoudre le système ? Sinon, il faut apprendre cette méthode très utile. Revoyez la dans la vidéo de rappel sur les matrices et systèmes.