Cours Stage - Factorisation de $a^n - b^n$ par $(a-b)$
QCM
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L'énoncé

Choisir la bonne réponse.

La calculatrice n'est pas autorisée pour les calculs.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Comment s'écrit la factorisation de $a^n-b^n$ ?

$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k}$

$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$

$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$

Question 2

En utilisant une factorisation, que vaut $8^3-2^3$ ?

(sans calculatrice)

$32734$

$504$

$8^3-2^3=(8-2)(8^2+8\times 2+2^2)$

$8^3-2^3  =6(64+16+4)=6\times 84=504$

$516$

Question 3

Comment s'écrit $a^2-b^2$ ?

$(a-b)(a-b)$

$(a-b)(a+b)$

$(a+b)(a+b)$

Question 4

Soit $a\in\mathbb{R}$. Comment s'écrit $a^3-2^3$ ?

$(a-2)(a^2+2a+4)$

$(a-2)(a^2+2a+8)$

$(a-2)(a^2+2a+2)$

Question 5

Comment s'écrit $a^4-b^4$ ?

$(a-b)(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)$

$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$

$(a-b)(a^3+2a^2b-2ab^2-b^3)$

Question 6

Comment prouve-t-on la relation $a^n-b^n=(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$ ?

On effectue un raisonnement par récurrence sur $\mathbb{N}.$

On utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

On développe l'expression de $(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$ en distribuant $(a-b)$ et on réindexe une somme.

Question 7

Comment peut se réindexer cette somme ? $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k}\;b^{k-1}$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1}\;b^{k-2}$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1}\;b^{k}$

Question 8

Quelles sont les hypothèses pour avoir le droit d'utiliser la formule ?

$(a,b)\in\mathbb{C^2},n\in\mathbb{N}$

$(a,b)\in\mathbb{R^2},n\in\mathbb{N}$

$(a,b)\in\mathbb{R^2},n\in\mathbb{N^*}$

$(a,b)\in\mathbb{(C^*)^2},n\in\mathbb{N^*}$

$(a,b)\in\mathbb{C^2},n\in\mathbb{N^*}$

Question 9

$7^4-4^4$ est-il divisible par $3$ ?

Oui

En effet, on peut factoriser par $(7-4)=3$

Non

Question 10

Que vaut $a^n-b^n$ si $n$ vaut 0 ?

$a-b$

$0$

$a^0-b^0=1-1=0$

$1$