Cours Stage - Factorisation de $a^n - b^n$ par $(a-b)$

Factorisation de $a^n-b^n$

L'énoncé

On rappelle la formule :

Soit $(a,b)\in\mathbb{C^2}$, soit $n\in\mathbb{N^*}$

Alors, $a^n-b^n=(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$


Question 1

Montrer à l'aide de la formule donnée  dans l'énoncé que pour tout $n$ non nul,

$2^n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2^{n-k}$

Pour tout $n$ non nul :

$2^n= 2^n-1+1$

$2^n= 1+(2^n-1)$

$2^n= 1+(2^n-1^n)$

$2^n= 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2^{n-k}\;1^{k-1}$

$2^n= 1+ \displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2^{n-k}$

On pourra écrire : $2^n= 2^n-1+1$


$2^n= 1+(2^n-1^n)$

Question 2

Donner une expression factorisée de $a^n-a^{2n}$

$a^n-a^{2n} = a^n-(a^n)^2$

Ainsi :  $a^n-a^{2n} = a^n(1-a^n)$, 

Remarquer que $a^n-a^{2n} = a^n-(a^n)^2$

Question 3

Montrer que si $n$ est impair, $a^n+b^n$ est divisible par $a+b$

$n$ est impair donc on peut l'écrire sous la forme $n=2m+1$ avec $m\in \mathbb{Z}$

Alors, $b^n = b^{2m+1}$

$b^n=((-1)\times(-b))^{2m+1}$

$b^n= (-1)^{2m+1}(-b)^{2m+1}$

$b^n= (-1)\times(-b)^n$

$b^n= -(-b)^n$

Alors on écrit $a^n+b^n = a^n-(-b)^n$, et on applique la factorisation de l'énoncé sur $a$ et $-b$.

On a alors $a^n+b^n = (a+b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;(-b)^{k-1}$, donc $(a+b)$ divise bien $a^n+b^n$.

Tout entier $n$ impair peut s'écrire : 


$n=2m+1$ avec $m\in \mathbb{Z}$