Cours Stage - Factorisation de $P$ par $z - a$
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Quelle est la forme générale d'un polynôme du second degré ?

$P(x)= ax+b$

$P(x)= ax^3 +bx^2 +cx +d$

$P(x)= ax^2+bx+c$

La forme générale d'un polynôme du second degré est : $P(x) = ax^2 + bx + c$

Question 2

Quelle est la formule du discriminant ?

$\Delta = b - 4ac$

$\Delta = b^2-4ac$

La formule du discriminant est : $\Delta = b^2 - 4ac$

$ \Delta = b^2-2ac$

$\Delta = b^2-4ab$

Question 3

Quelles sont les formules utilisées pour obtenir les racines d'un polynôme lorsque $\Delta >0$ ?

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

Les racines sont données par les deux formules : $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

 

$x_1 = \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{4a}$ et $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4a}$

$x_1 = \frac{-b + \Delta}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b-\Delta}{2a}$

Question 4

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x) = x^2 +2x +1$

$P(x) = (x+1)^2$

On reconnaît l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Donc $P(x) = (x+1)^2$

$P(x)= (x-1)(x+1)$

$P(x) = (x-1)^2$

$P(x)= (x-2)(x+1)$

Question 5

Que vaut $(a+b)^2$ ?

$a^2 + b^2$

$a^2 + ab + b^2$

$a^2 + 2ab + b^2$

L'identité remarquable donne : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Question 6

Que vaut $(a-b)^2$ ?

$a^2 - b^2$

$a^2 - ab + b^2$

$a^2 - ab - b^2$

$a^2 - 2ab  + b^2$

L'identité remarquable donne : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Question 7

Que vaut $(a-b)(a+b)$ ?

$a^2 - b^2$

L'identité remarquable donne : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

$a^2 - 2ab + b^2$

$a^2 +2ab + b^2$

$a^2 + b^2$

Question 8

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x) = x^2 -1$ ?

$P(x)= (x+1)^2$

$P(x) = (x-1)^2$

$P(x)=  (x-1)(x+1)$

Grâce à l'identité remarquable, on trouve $P(x) = (x-1)(x+1)$

$P(x)= (x-2)(x+1)$

Question 9

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x) = x^2 + 3x -6$ ?

$P(x) = (x- \frac{-3 - \sqrt{33}}{4})(x-\frac{-3 + \sqrt{33}}{4})$

$P(x) = (x- \frac{-3 - \sqrt{30}}{2})(x-\frac{-3 + \sqrt{30}}{2})$

$P(x) = (x- \frac{-3 - \sqrt{33}}{2})(x-\frac{-3 + \sqrt{33}}{2})$

Le calcul du discriminant donne $\Delta = 3^2 + 4 \times 6 \times 1 = 33$

D'où le calcul des racines : $ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}$ et $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$

La forme factorisée de $P$ est donc : $P(x) = (x- \frac{-3 - \sqrt{33}}{2})(x-\frac{-3 + \sqrt{33}}{2})$

$P(x) = (x- \frac{-3 - \sqrt{32}}{2})(x-\frac{-3 + \sqrt{32}}{2})$

Question 10

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x) =  2x^2 -4x +2$ ?

$ P(x) = (x-1)^2$

$ P(x) = 2(x-1)^2$

Le calcul du discriminant donne : $\Delta = (-4)^2 - 4\times 4  = 0$

Donc $x_1 = \frac{4 - 0}{4} = 1$ et $x_2 = \frac{4+0}{4} = 1$

On en déduit que $ P(x) = 2(x-1)^2$

$P(x) = 2(x-2)^2$

$ P(x) = (x-2)^2$