Cours Stage - Factorisation de $P$ par $z - a$

Exercice : Factorisation d'un polynôme par $z-a$

L'énoncé

On considère deux polynômes $P$ et $Q$ :

$P(x) = x^2 +3x + 2$

$Q(x) = 2x^3 -x^2  - 5x -2$


Question 1

Quelles sont les racines du polynôme P ?

Les deux racines du polynôme $P$ s'obtiennent par un calcul de discriminant :

$\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1$

Donc $x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$ et $x_2 = \frac{-3-1}{2}= -2$

Les deux racines de $P$ sont donc $-1$ et $-2$

Calculez le discriminant de $P$ et déduisez-en ses racines.

Question 2

Déduisez-en la forme factorisée de $P$.

La forme factorisée de $P$ est : $P(x) = (x+1)(x+2)$

Utilisez le théorème de la vidéo.

Question 3

Déterminer une racine évidente $x_0$ de $Q$.

$-1$ est racine évidente de $Q$.

En effet $Q(-1)=-2-1+5-2=0$

Testez des valeurs simples entières.

Question 4

On note alors $Q(x) = (x-x_0)(ax^2+bx+c)$

Déterminer $a,b$ et $c$. En déduire une expression à deux facteurs de $Q$.

$Q(x) = (x+1)(ax^2+bx+c) = ax^3 + (a+b)x^2 + (b+c)x + c = 2x^3 - x^2 - 5x - 2$

En identifiant les coefficients, on trouve :

$a = 2, b = -3$ et $c = -2$

On en déduit que $Q(x)  =(x+1)(2x^2 -3x -2)$

$a,b$ et $c$ s'obtiennent par identification des coefficients des deux écritures de $Q$.

Question 5

En refactorisant le polynôme de degré 2, en déduire une expression de $Q$ à trois facteurs.

Le calcul du discriminant donne : $\Delta = (-3)^2 + 4 \times 2 \times 2 = 25$

On obtient les racines suivantes : $x_1 = \frac{3 +5}{4} = 2$ , $x_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$

Donc $Q(x) = 2(x+1)(x+\frac{1}{2})(x-2)$

Calculez le discriminant et utilisez encore une fois le théorème du cours.