Cours Stage - Modules et arguments

Modules et arguments

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Fiche de cours

Module et argument

 

Module

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ et on note $M$ le point du plan complexe d'affixe $z$.

 

On définit le module de $z$ (qu'on note $|z|$) par la distance du point $M$ au point d'origine $O$.

On a alors la formule suivante :

$|z|=OM =\sqrt{a^2+b^2}$

 

Argument

On note $\overrightarrow{u}$ le vecteur directeur de norme $1$ de l'axe des réels.

On définit alors l'argument d'un nombre complexe $z=a+ib$ (affixe du point $M$ dans le plan complexe) l'angle formé par le vecteur $\overrightarrow{u}$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$.

 

On écrit alors :

$ \operatorname{arg} (z) = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM} ) ~ [2\pi]$

En notant $\theta = \operatorname{arg}(z)~ [2\pi]$ alors on a les égalités suivantes :

  • $\cos(\theta)=\dfrac{a}{|z|}$
  • $\sin(\theta)=\dfrac{b}{|z|}$

 

Illustration graphique

 --36

 

L'angle $\theta$ est ici un argument de $z$ : $\operatorname{arg}(z)=\theta ~ [2\pi]$.

 

Exemple

Calculer le module et un argument de $z_1=1+i$ et $z_2=4-4i$.

$z_1$ s'Ècrit : $z_1=a_1+ib_1$ avec

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