Cours Stage - Modules et arguments

Exercice - Modules et arguments

L'énoncé

On choisit deux nombres complexes, \(z_1 = -1 + i\sqrt{3}\) et \(z_2 = 1 + i\).


Question 1

Déterminer les modules de \(z_1\) et \(z_2\).

Module de \(z_1\) : on a\(|z_1| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}= \sqrt{4} = 2\).

Module de\(z_2\) : on a\(|z_2| = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\).

Question 2

Déterminer des arguments de \(z_1\) et\(z_2\).

Argument de\(z_1\) :

On a\(z_1 = 2(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})=2e^{i\dfrac{2\pi}{3}}\). On sait donc qu'un argument de \(z_1\) est\(\dfrac{2\pi}{3}\).

 

Argument de\(z_2\) :

On a\(z_2 = \sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}e^{i\dfrac{\pi}{4}}\). On sait donc qu'un argument de\(z_2\) est\(\dfrac{\pi}{4}\).

Question 3

Déterminer le module et un argument de \(\dfrac{z_1}{z_2}\).

On sait que \(|\dfrac{z}{z'}|=\dfrac{|z|}{|z'|}\) et que\(arg(\dfrac{z}{z'})=arg(z)-arg(z')\).

On a donc\(|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) et 

\(arg(\dfrac{z_1}{z_2})=arg(z_1)-arg(z_2) (2\pi)\)

\(arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\dfrac{2\pi}{3} -\dfrac{\pi}{4}(2\pi)\)

\(arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\dfrac{8\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}(2\pi)\)

Question 4

Déterminer le module et un argument de \({z_1}^4\).

On sait que\(|z^n|=|z|^n\). On a donc ici\(|{z_1}^4|=|z_1|^4=2^4=16\).

On sait aussi que\(arg(z^n)=n \times arg(z) (2\pi)\).

On a donc ici\(arg({z_1}^4)=4 \times arg(z_1) = 4 \times \dfrac{2\pi}{3} =\dfrac{8\pi}{3} (2\pi)\).

Or,\(\dfrac{8\pi}{3} =2\pi+\dfrac{2\pi}{3} (2\pi)\)

Donc,\(arg({z_1}^4)=\dfrac{2\pi}{3} (2\pi)\)