Cours Stage - Nombres complexes, conjugués, équations

Résolution d'équations avec des nombres complexes

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes. 


Question 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :

 $z^2 + 2z + 9 =0$

$z^2 + 2z +9 =0$

$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 9 = 4 - 36 = -32 < 0$

 

Nous avons donc deux solutions complexes conjuguées :

$z_1 = \dfrac {-2-i\sqrt{32}}{2} = \dfrac {-2-4i \sqrt2}{2} = -1 -2i\sqrt2$

et

$z_2 = \dfrac{-2+i\sqrt{32}}{2} = \dfrac{-2+4i\sqrt2}{2} = -1 + 2i\sqrt2$

Calculer le discriminant.

Question 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :

$ z^2 - 2z\sqrt3 + 4 = 0$

$z^2 - 2z\sqrt3 + 4 =0$

$\Delta = (-2\sqrt3)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 12 - 16 = -4 <0$

 

Nous avons donc deux solutions complexes conjuguées :

$z_1 = \dfrac{2\sqrt3 - 2i}{2} = \sqrt3 -i$

et $z_2 = \dfrac {2\sqrt3 + 2i}{2} = \sqrt3 +i$

Calculer le discriminant.

Question 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :

$x^2+1=0$

C'est une question de cours :

Les deux solutions sont $S=\{-i;i\}$

Le calcul du discriminant n'est pas nécessaire.

Question 4

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :

$x^2-16=0$

$x^2-16=0\iff x^2=16$

Les racines de cette équation sont réelles :

$S=\{-4;4\}$

 

Le calcul du discriminant n'est pas nécessaire.