Caractérisation de nombres complexes

Caractérisations des nombres complexes

Réels et imaginaires purs

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe quelconque.

On dit que $z$ est réel lorsque $b=0$ et que $z$ est imaginaire pur lorsque $a=0$.

Exemple

• $2i$ est imaginaire pur,
• $3$ est réel
• $3+2i$ n'est ni réel, ni imaginaire pur.

Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires

On constate simplement que si $z$ est un nombre complexe non nul, $\boxed{z\in \mathbb{R} \Leftrightarrow Im(z)=0}$.

Autrement dit, $z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

De même, $z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $\boxed{z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow Re(z)=0}$.

Caractérisation avec l'argument

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

 $\bullet$ $z$ est réel si et seulement si $arg(z)=k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

 $\bullet$ $z$ est imaginaire pur si et seulement si $arg(z)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

Illustration graphique

L'affixe du point $M$ est un réel négatif, ta