Cours Stage - Formule du binôme de Newton
QCM
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L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


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Question 1

A quoi renvoie $\mathbb{K}$ ? 

A l'ensemble des réels ou des complexes.

Cela désigne l'ensemble des réels ou des complexes.

A une constante.

A une fonction.

Question 2

Quelle est la bonne formule ?

$\forall (a, b) \in \mathbb{K}^2\; \forall n \in \mathbb{N}$:

$(a + b)^n = a^n + b^n$

$(a + b)^k = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^kb^{n-k}$

Le $k$ du membre de gauche n'est pas défini. 

$(a + b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^kb^{n-k}$

C'est la bonne réponse. 

Question 3

Quel nom donne-t-on à cette formule ? 

La formule du binôme d'Einstein.

La formule du binôme de Newton.

On appelle cette formule la formule du binôme de Newton.

La formule du binôme polynomiale.

Question 4

De quelle autre manière peut-on écrire la formule du binôme ?

$(a + b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k^ab^{n-k}$

$(a + b)^n = \displaystyle \sum_{p=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ p \end{array}\right) a^{n-p}b^{p}$

Cela peut se démontrer en utilisant la commutativité de la somme : $a + b = b + a$.

$(a + b)^p = \displaystyle \sum_{p=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ p \end{array}\right) a^{n-p}b^{p}$

Question 5

Que vaut $(a + b)^n$ si $n = 0$ ? 

0

1

En effet, par convention, tout nombre élevé à la puissance 0 vaut 1. 

$a + b$

Question 6

Que vaut $(a + b)^1$ ? 

$b + a$ 

En effet, $(a + b)^1 = a + b = b + a$. 

1

$2(a + b)$

Question 7

Que vaut $(a + b)^2$ ? 

$a^2 + b^2$

$a^2 + ab + b^2$

$a^2 + 2ab + b^2$

On retrouve l'identité remarquable apprise au collège. 

Question 8

Que vaut $(a + b)^3$ ? 

$b^3 + ab^2 + a^2b + a^3$

$b^3 + 3ab^2 + 3a^2b + a^3$

En effet, $\left ( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) = 3$. 

$a^3 + b^3$.

Question 9

Quelle hypothèse doit être vérifiée pour appliquer la formule du binôme de Newton ? 

Que $a$ ou $b$ sont non nuls.

Que $n$ doit être supérieur à 2.

Que la multiplication est commutative.

Cette hypothèse est fondamentale et est toujours vraie dans le cas des nombres réels ou complexes, mais ne l'est plus toujours pour les matrices par exemple. 

Question 10

Quel raisonnenement est utilisé pour la démonstration de la formule ? 

Le raisonnement par récurrence.

Le raisonnement par dénombrement.

La preuve utilise le dénombrement pour aboutir à la formule. 

Le raisonnement implicite.