Cours Stage - Nombres complexes de module 1

Ensemble des nombres complexes de module 1

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Fiche de cours

Ensemble $\mathbb{U}$ des nombres complexes de module $1$

 

Définition :


On désigne par $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$ c'est à dire l'ensemble $\{ z \in \mathbb{C}, |z| =1 \}$. 

On peut citer en guise d'exemple les nombres suivants :

  • $1 \in \mathbb{U}$
  • $-1 \in \mathbb{U}$
  • $e^{i\frac{\pi}{2}}=i \in \mathbb{U}$
  • $e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i \in \mathbb{U}$

On pourra remarquer que $0 \notin \mathbb{U}$.

On s'intéresse à l'image de l'ensemble $\mathbb{U}$ dans le plan complexe, c'est à dire, la représentation géométrique de cet ensemble. 


Ainsi, l'image d'un nombre complexe de module $1$ dans le plan complexe est un point du cercle trigonométrique, c'est à dire un point du cercle de rayon 1. 
On dira alors que pour tout $z \in \mathbb{U}$, il existe un unique $\theta \in ]-\pi, \pi]$ tel que

$z = e^{i\theta}$.

On admet alors que l'image de $\mathbb{U}$ dans le plan complexe est le cercle trigonométrique. 

cercle_trigonometrique

 

Propriétés

 

Propriété 1 :

Soit $z \in

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