Cours Stage - Racines n-ièmes de l’unité

Racines n-ièmes de l'unité

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Fiche de cours

Les Racines n-ièmes de l’unité

 

Définition :

 

Soit $ n\in\mathbb{N^*}$, on appelle racine n-ième de l’unité tout nombre complexe $z$ qui vérifie $z^n=1$.

 

Intéressons-nous à la recherche des racines n-ièmes de l’unité .

On utilise l’écriture exponentielle d'un nombre complexe :

$\exists !\rho \in\mathbb{R^*}\;\;\exists ! \theta \in [0 ; 2\pi[\;\; z=\rho e^{i\theta}$

Soit $ n\in\mathbb{N^*}$, on résout $z^n=1$ :

$\Leftrightarrow\rho^n e^{ni\theta}=1$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}\rho^n=1 \\n\theta=0+2k\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}\rho=1 \quad rq:\; \mathbb{U_n}\subset\mathbb{U}\ \\\theta=\frac{2k\pi}{n}\quad k\in\mathbb{Z }\end{array}\right.$

 

Donc l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité :

$\mathbb{U_n}=\{1,\; e^{\frac{2I\pi}{n}} \; e^{\frac{4I\pi}{n}} \; ,…, \; e^{\frac{2(n-1)I\pi}{n}}\}$

$\mathbb{U_n}=\{\omega_k, 0\leq k \leq n-1\}\; , \; \omega _k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}= \omega _1^k$

 

Il y a donc n racines n-ièmes de l’unité ($card(\mathbb{U_n})=n$).

On remarque que la somme des racines n-i&egr

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