Cours Stage - Premier principe de la thermodynamique

Exercice - Premier principe de la thermodynamique

L'énoncé

Une turbine à vapeur entraîne un alternateur. La vapeur d'eau sous pression entraîne les pals de la turbine qui se met à tourner et entraîne dans sa rotation le rotor de l'alternateur. L'installation est la suivante :

Turbine

On considère un cycle de transformations pour $m=2 kg$ d'eau.

Le générateur, considéré comme un système aux parois indéformables, fournit $Q_{m1} = 2500 kJ.kg^{-1}$ de chaleur à l'eau qui se transforme alors en vapeur sous pression.

Une valve de sortie du générateur de vapeur s'ouvre, la vapeur entraîne alors une turbine calorifugée, fournissant ainsi un travail à l'extérieur (turbine). Cette vapeur, une fois son travail fourni, est récupérée dans un condenseur aux parois indéformables, qui la transforme à nouveau en eau grâce au refroidissement qui s'y opère. Cette vapeur liquéfiée ou eau liquide a cédé à l'air ambiant une quantité de chaleur de $1500 kJ.kg^{-1}$.


Question 1

A l'aide de l'énoncé et du premier principe, calculer la variation d'énergie interne massique $\dfrac{(U_2 - U_1)}{m}$ et $\dfrac{(U_4 - U_3)}{m}$. Commenter le signe pour chaque résultat.

Il n'y a pas d'échange de travail avec l'extérieur du système car celui-ci possède des parois indéformables. On a donc $W_{1\rightarrow2} = 0$.

D'après le premier principe, $ U_2 - U_1 = \Delta U_{1\rightarrow2} =Q_{1\rightarrow2}+W_{1\rightarrow2} = Q_{1\rightarrow2}$

Or $Q_{1\rightarrow2} = m\times Q_{m1}$ ainsi $\dfrac{\Delta U_{1\rightarrow2}}{m} = Q_{m1} = 2500 kJ.kg^{-1}$. Le générateur fournit de la chaleur, que le système reçoit (Q > 0).

D'après l'énoncé, on comprend de la même façon que $\dfrac{\Delta U_{1\rightarrow2}}{m} = - 1500 kJ.kg^{-1}$ car le système cède de la chaleur donc Q < 0. 

La mention "parois indéformables" signifie qu'il n'y a pas d'échange de travail avec l'extérieur. Identifier les différents états et les transformations du cycle.

Question 2

Une autre expression de la variation de l'énergie interne est $\Delta U = n\times C_v\times \Delta T$ avec n la quantité de matière, $C_v$ la chaleur spécifique et $\Delta T$ la variation de température.

En déduire la variation d'énergie interne massique $\dfrac{(U_3 - U_2)}{m}$ et le travail massique $\dfrac{W_{2\rightarrow3}}{m}$ qui est fourni à la turbine. 

L'eau décrit un cycle de transformations, sa température donc la même au début et à la fin du cycle, puisque l'on revient à un état liquide, l'état initial. 

On a donc $\Delta U = 0 = \Delta U_{1\rightarrow2} + \Delta U_{2\rightarrow3} + \Delta U_{3\rightarrow4}$

Et $\Delta U_{2\rightarrow3} = - (\Delta U_{1\rightarrow2} + \Delta U_{3\rightarrow4})$

D'où $\dfrac{\Delta U_{2\rightarrow3}}{m} = - \dfrac{(\Delta U_{1\rightarrow2} + \Delta U_{3\rightarrow4})}{m} = - \dfrac{2500 -1500}{2} = - 500 kJ.kg^{-1}$

Cette valeur est également celle de $\dfrac{W_{2\rightarrow3}}{m}$ car la turbine est calorifugée : il n'y a donc pas d'échange de chaleur ($Q_{2\rightarrow3} = 0$) et $\Delta U_{2\rightarrow3} = W_{2\rightarrow3}$.

La variation d'énergie interne totale est la somme des variations d'énergies internes pour chaque transformation. 


L'eau est impliquée dans un cycle de transformations, identifier la température initiale et la température finale.

Question 3

La turbine entraînant l'alternateur possède dans ce cas un débit massique $q_m = 8 kg.s^{-1}$. Calculer la puissance $P$ développée par la turbine.

Ici, $Q_{2\rightarrow3} = 0$ donc l'énergie perdue dans la transformation $2\rightarrow3$ est due au travail. On peut en déduire par analyse dimensionnelle que :

$P = q_m \times \dfrac{W_{2 \rightarrow 3}}{m} = 8\times \dfrac{ (-500) }{2} = - 2000 kW$

Pour rappel, les Watts représentent aussi des $J.s^{-1}$.