Cours Stage - Poussée d'Archimède, écoulement d'un fluide

Exercice - Ecoulement de l’eau dans une bouteille

L'énoncé

Martin veut observer comment s’écoule l’eau dans une bouteille de vin posée à l’horizontale. Pour cela, il perce et ouvre la totalité du fond de la bouteille pour avoir une ouverture de part et d’autre de la bouteille.

Le diamètre de la plus large partie de la bouteille $D1$ est de 7 cm et celui de la plus fine partie de la bouteille $D2$ est de 2,5 cm.

L’eau est ajoutée par le fond de la bouteille à la vitesse de 3 cm/min et s’écoule ensuite dans la bouteille pour en sortir par le goulot.


Question 1

Dessiner le schéma de l’expérience au brouillon. 

Question 2

Calculer le débit volumique de la partie la plus large de la bouteille, sachant que la vitesse d’écoulement de l’eau est de 3 cm/min.

$DV_1 = v_1\times S1$

On calcule d’abord la surface : $S1 = \pi \times r^2 = \pi \times 0,035 = 0,11m^2$.

On convertit la vitesse en m/s : 3 cm par minute correspond à 0,03 m par 60 secondes donc : $5.10^{-4}m.s^{-1}$.

$DV_1 = v_1\times S1 = 5.10^{-4} \times 0,11 = 5,5.10^{-5}m^3.s^{-1}$

$DV = v \times S$. Attention aux unités !

Question 3

Avec la même vitesse d’écoulement, déterminer ensuite le débit volumique dans la partie fine de la bouteille, au niveau du goulot. 

$DV_2 = v_2\times S2$

On calcule d’abord la surface : $S2 = \pi \times r^2 = \pi \times 0,0125 = 0,039m^2$.

On utilise la même vitesse que précédemment : $5.10^{-4}m.s^{-1}$.

$DV_2 = v_2\times S2 = 5.10^{-4} \times 0,039 = 1,95.10^{-5}m^3.s^{-1}$

$DV = v \times S$. Attention aux unités ! On garde la même vitesse que précédemment. 

Question 4

Que remarque-t-on pour ces deux débits ? Si le débit se conserve le long de la bouteille, qu’observe-t-on ?

Plus le diamètre de la bouteille se réduit et plus le débit diminue.

Si le débit est conservé le long de la bouteille, c’est la vitesse qui est la seule variable. Dans ce cas, plus le diamètre et donc la surface, seront grands, plus la vitesse sera faible.

Si le débit volumique et la surface sont des valeurs fixes, qu'en est-il de la vitesse ?