Exercice : Calcul numérique
On donne un programme de calcul :
-
Choisir un nombre
-
Lui ajouter 4
-
Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi
-
Ajouter 4 à ce produit
- Ecrire le résultat
1) Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre -2, on obtient 0.
2) a) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.
b) Faire un autre essai en choisissant un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier (les calculs doivent figurer sur la copie).
3) En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier $x$ au départ de ce programme de calcul ? Justifier la réponse.
4) On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ? La réponse n’est pas à justifier.
1) Si le nombre choisi est -2, alors on obtient : $(-2+4)×(-2)+4 = 2×(-2) + 4 = 0$.
2) a) Si le nombre choisi est 5, alors on obtient : $(5+4)×5+4 = 9×5 + 4 = 49$.
b) ...
3) Si on désigne le nombre choisi par $x$ alors le programme de calcul s’écrit : $(x+4)\times x +4= x^2+4x+4= (x+2)^2$. Ce qui justifie que si $x$ est un nombre entier alors on obtient le carré de l’entier $x+2$.
4) Résolvons : $(x+2)^2 = 1$
On a : $(x+2)^2 = 1 \Leftrightarrow (x+2)^2 - 1=0\Leftrightarrow (x+2)^2 - 1^2=0 $.
On repère une égalité remarquable de la forme $a^2-b^2$. On factorise.
On a donc : $(x+2-1)(x+2+1)=0$ soit $(x+1)(x+3)=0$.
Ce produit de facteurs est nul si et seulement si, l'un des facteurs est nul : $x+1=0$ ou $x+3=0$.
Les solutions de la question sont donc : $x= -1$ et $x= -3$.