Cours Sections de solides par des plans
Exercice d'application

Exercice : Pyramide

$SABCD$ est une pyramide régulière de sommet $S$, de base le carré $ABCD$ de centre $O$.

On donne :

- La hauteur de la pyramide : $SO = 5 cm$.

- Le côté de la base : $AB = 4 cm$.

1) Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide en $cm^3$, puis en donner une valeur approchée en $mm^3$.

2) On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base tels que $M, N, P, Q$ sont les milieux respectifs des arêtes $[SA], [SB], [SC], [SD]$.

a) Démontrer que $MN = 2 cm$.

b) Quel est le rapport de réduction ?

c) Quel est le volume de $SMNPQ$ ?

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1) Soit $V_1$ le volume de la pyramide $SABCD$ :

$V_1 = \dfrac{A_{ABCD}\times SO}{3}$

$V_1 = \dfrac{4^2\times 5}{3}$

$V_1 = \dfrac{80}{3} cm^3$

$V_1 \approx 26,667 cm^3$

$V_1 \approx 26667 mm^3$

 

2) a) Dans le triangle $SAB$, $M$ et $N$ sont les milieux respectifs de ${SA}$ et $[SB]$ donc d'après la propriété de la droite des milieux :

$MN =\dfrac{1}{2} AB$ , soit $MN =\dfrac{1}{2} \times 4 = 2cm$.

b) La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction du polygone de base.

$MNPQ$ est une réduction de $ABCD$.

Le coefficient de réduction $k$ est $\dfrac{SM}{SA}$ ou $\dfrac{MN}{AB}$ soit $\dfrac{1}{2}$.

c) Soit $V_2$ le volume de la pyramide $SMNPQ$ réduction de $SABCD$ dans le rapport $\dfrac{1}{2}$ :

$V_2 = V_1\times k^3$

$V_2 = \dfrac{80}{3}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$

$V_2 = \dfrac{80}{3}\times\dfrac{1}{8}$

$V_2 =\dfrac{10}{3}cm^3$

 

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