Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Thalès et pythagore

Un fabricant d'enseignes lumineuses doit réaliser la lettre Z (en tubes de verre soudés) pour la fixer sur le haut d'une vitrine. Voici le schéma donnant la forme et certaines dimensions de l'enseigne :

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Les droites (AD) et (BC) se coupent en O.

 

1) Sachant que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, calculer la longueur OB.

2) Démontrer que le tube [BC] est perpendiculaire à la droite (AD).

3) Calculer la mesure de l’angle $\widehat{OCD}$ (tu donneras une valeur arrondie au degré près).

1) On considère les triangles AOB et OCD, on a :

$A \in (OD) ; B \in (OC)$ et $(AB) // (CD)$ ; donc d’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AO}{OD}=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{AB}{CD}$ soit $\dfrac{5}{9}=\dfrac{OB}{12}$

donc $OB = \dfrac{5\times 12}{9}$ soit $OB = \dfrac{20}{3}$dm

 

2) On considère le triangle OCD, [CD] est le plus grand côté, $CD^2=15^2=225$

$OC^2+OD^2=12^2+9^2=144+81=225$           $\Longrightarrow$ Donc $CD^2=OC^2+OD^2$

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle OCD est rectangle en O donc (OC) est perpendiculaire à (OD).

Or A, O, D sont alignés ainsi que B, O, C donc le tube [BC] est perpendiculaire à la droite (AD).

 

3) Dans le triangle OCD rectangle en O, on peut écrire :

$\cos(\widehat{OCD})=\dfrac{OC}{CD}$ soit $\cos(\widehat{OCD})=\dfrac{12}{15}$

donc $\widehat{OCD} \approx 37°$ (arrondi au d° près)